uabooks.top

«Человек — пушечное ядро» — цирковой номер с таким названием впервые был показан в 1877 г. в Лондоне. 16-летнюю воздушную гимнастку поместили в дуло «пушки», произвели выстрел, и девушка, пролетев над головами восхищенных зрителей, опустилась на страховочную сетку. Современные аналогичные «пушки» — это огромные пневматические пистолеты. Как они работают, предлагаем вам узнать самостоятельно, а сейчас рассмотрим, на какие законы опираются создатели подобных аттракционов.

1. Вспоминаем свободное падение

Аристотель утверждал: чем тело тяжелее, тем быстрее оно падает на Землю. Однако вы знаете: так будет, если движение примерно одинаковых по размеру тел будет происходить в воздухе, а вот при отсутствии воздуха все тела — независимо от их массы, объема, формы — падают на Землю одинаково (рис. 7.1).

Падение тел в безвоздушном пространстве, то есть падение только под действием силы тяжести, называют свободным падением.

В случае свободного падения все тела падают на Землю с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения

• Вектор ускорения свободного падения всегда направлен вертикально вниз.

• Ускорение свободного падения впервые измерил нидерландский математик, астроном и физик Христиан Гюйгенс (1629-1695) в 1656 г. Вблизи поверхности Земли, то есть на небольшом (по сравнению с радиусом Земли) расстоянии, оно приблизительно равно 9,8 м/с².

 

2. Свободное падение каких тел мы будем рассматривать

Характер движения тела в поле тяготения Земли достаточно сложен (рис. 7.2), и его описание выходит за рамки школьной программы. Поэтому примем ряд упрощений.

• Систему отсчета, связанную с точкой на поверхности Земли, будем считать инерциальной (об инерциальных СО вы вспомните в § 9).

• Будем рассматривать движение тел, находящихся вблизи поверхности Земли. Тогда кривизной поверхности Земли можно пренебречь, а ускорение свободного падения считать неизменным. При решении задач будем считать, что g = 10 м/с², если не указано иное.

• Сопротивлением воздуха будем пренебрегать. Это упрощение не повлечет серьезного искажения результатов только тогда, когда тела достаточно тяжелые, небольшие по размеру, а скорость их движения достаточно мала. Именно такие тела будем рассматривать далее.

Возьмите книгу, лист бумаги, ластик, карандаш и выясните, как сопротивление воздуха влияет на их падение.

Формулы для расчета кинематических характеристик свободного падения

3. Как движется тело, брошенное вертикально

Наблюдая за движением небольших тяжелых тел, брошенных вертикально вниз или вертикально вверх либо падающих без начальной скорости, видим, что траектория их движения — отрезок прямой. К тому же эти тела движутся с неизменным ускорением.

Движение тела, брошенного вертикально вверх или вниз, — это равноускоренное прямолинейное движение с ускорением, равным ускорению свободного падения:

Вспомним формулы, описывающие равноускоренное прямолинейное движение, учтем, что при описании движения тела по вертикали векторы скорости, ускорения и перемещения традиционно проецируют на ось OY, и получим ряд формул, которыми описывают свободное падение тел (см. таблицу).

Задача 1. С вертолета, который висит на высоте 45 м над озером, сбросили небольшой тяжелый предмет. 1) Через какой интервал времени предмет упадет в озеро? 2) Какой будет скорость движения предмета в момент касания воды? 3) Определите соотношение перемещений предмета за любые равные интервалы времени At.

Анализ физической проблемы. Выполним пояснительный рисунок (рис. 1). Ось OY направим вертикально вниз. Начало координат пусть совпадает с положением тела в момент начала падения. Скорость движения тела в этот момент равна нулю.

Проверим единицы, найдем значения искомых величин:

Для ответа на вопрос 3 воспользуемся геометрическим смыслом перемещения (рис. 2). Свободное падение тел — равноускоренное прямолинейное движение, поэтому график зависимости

это отрезок прямой, который начинается в точке

Видим, что за первый интервал времени At перемещение тела численно равно площади S₀ одного треугольника (площадь фигуры под графиком): = 1<S₀ ; за второй интервал времени Δί — площади трех треугольников:

за третий интервал времени

Если тело свободно падает без начальной скорости, перемещения тела за равные последовательные интервалы времени относятся как нечетные числа:

Это свойство касается любого равноускоренного движения без начальной скорости. Так, если за первую секунду тело прошло 5 м, за вторую оно пройдет 3-5 = 15 м, за третью — 5-5 = 25 м, за четвертую — 7-5 = 35 м и т. д.

 

4. Что падает быстрее

Представим, что с моста в горизонтальном направлении бросили каштан и в то же мгновение выпустили из руки второй каштан. Какой каштан упадет в воду быстрее? На самом деле оба каштана, если им ничего не помешает, упадут в воду одновременно.

Итак, движению тела в вертикальном направлении «не мешает» его движение в горизонтальном направлении, и наоборот. В данном случае мы имеем дело с проявлением принципа независимости движений, в соответствии с которым любое сложное движение можно рассматривать как сумму двух (или более) простых движений. Воспользовавшись специальным устройством и видеокамерой мобильного телефона, можем легко подтвердить это (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Шарик 1, свободно падающий без начальной скорости, и шарик 2, брошенный горизонтально, все время находятся на одинаковой высоте и на пол падают одновременно

 

5. Движение тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту

Воспользовавшись принципом независимости движений, рассмотрим движение тела, которому вблизи поверхности Земли сообщена некоторая не вертикальная скорость. Напомним: сопротивление воздуха будем считать пренебрежимо малым, то есть движение происходит только под действием силы тяжести с ускорением g. Такое движение удобно рассматривать как результат сложения двух независимых движений (рис. 7.4): 1) горизонтального — равномерного вдоль оси ОХ (поскольку g_x= 0), которое описывается уравнениями:

2) вертикального — равноускоренного (с ускорением g) вдоль оси OY, которое описывается уравнениями:

• Модуль и направление скорости движения тела в произвольной точке траектории находим, воспользовавшись теоремой Пифагора и определением тангенса (см. рис. 7.4):

Если из уравнения

найти t и подставить полученное выражение в уравнение

получим уравнение траектории движения тела, имеющее вид квадратичной функции:

Таким образом, траектория движения тела, которому вблизи поверхности Земли сообщена начальная скорость, является параболической (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Траектория тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, является параболической, а ее кривизна зависит от модуля и направления начальной скорости

 

6. Движение тела, брошенного горизонтально

Задача 2. Мотоциклист, двигавшийся горизонтально по горной дороге со скоростью 15 м/с, не затормозил перед поворотом, и его мотоцикл упал в сугроб с высоты 20 м. 1) Сколько времени падал мотоцикл? 2) Какова горизонтальная дальность полета мотоцикла? Как, по вашему мнению, изменится ли эта дальность в реальной ситуации? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Выберем систему отсчета: начало координат свяжем с местом, где мотоцикл начал падение, ось OY направим вертикально вниз, ось ОХ — в направлении начальной скорости движения мотоцикла (см. рисунок).

В выбранной системе отсчета движение:

Обратите внимание! Выделенные формулы справедливы для описания движения любого горизонтально брошенного тела.

1) Определим время падения мотоцикла:

2) Вычислим дальность полета:

Проанализируем результат. Очевидно, что в реальной ситуации дальность полета будет меньше, ведь движению мешает сопротивление воздуха. Однако это не означает, что падение будет более безопасным. Будьте осторожны и внимательны на дорогах!

Ответ: t- 2 с; L = 30 м.

7. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Прочитав о рекордах скорости спортивных снарядов, ученица решила выяснить, какую скорость она придает футбольному мячу. Для этого девочка ударила по мячу, направив его под углом 45° к горизонту (см. рис. 7.6). Мяч упал на землю на расстоянии 40 м от ученицы. Выполнив расчеты, девочка решила, что она придала мячу скорость 20 м/с, а мяч поднялся на высоту 8 м. Не ошиблась ли юная футболистка?

Ознакомьтесь с решением аналогичной задачи в общем виде (см. ниже). Воспользовавшись полученными формулами, оцените расчеты ученицы, а после уроков проведите соответствующий эксперимент и оцените, какую скорость придаете мячу вы.

Задача 3. Футболистка ударила по мячу, сообщив ему скорость и₀, направленную под углом а к горизонту. Определите дальность полета и максимальную высоту подъема мяча.

Решение

Выполним пояснительный рисунок (рис. 1): начало координат свяжем с точкой на поверхности Земли, где мяч оторвался от бутсы футболистки; ось OY направим вертикально вверх; ось ОХ — горизонтально.

В выбранной системе отсчета движение:

Обратите внимание! Из последней формулы следует:

• если бросить тело под углом а, а затем под углом 90°-а, то дальность полета не изменится, то есть тело попадет в ту же точку, двигаясь разными траекториями (рис. 2);

• максимальной дальности полета тело достигает при а = 45° (sin2a = l).

Подводим итоги

Падение тел в безвоздушном пространстве, то есть падение только под действием силы тяжести, называют свободным падением.

• В случае свободного падения все тела падают на Землю с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения

Вектор ускорения

свободного падения всегда направлен вертикально вниз; по модулю

Движение тела, брошенного вертикально вверх или вниз, — это равноускоренное прямолинейное движение с ускорением, равным ускорению свободного падения:

Траектория движения тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, — параболическая. Такие движения рассматривают как результат сложения двух простых движений: горизонтального — равномерного вдоль оси ОХ и вертикального — равноускоренного (с ускорением g) вдоль оси OY. При этом уравнения зависимостей проекции скорости и координаты от времени имеют вид:

Контрольные вопросы

1. Какое движение тел называют свободным падением? Каков характер этого движения? 2. Как направлено ускорение свободного падения и чему оно равно?

3. Запишите в общем виде уравнение движения тела под действием силы тяжести. 4. Какой вид будут иметь уравнения движения, если тело брошено вертикально? горизонтально? под углом к горизонту? 5. Какова траектория движения тела, брошенного вертикально? горизонтально? под углом к горизонту? Приведите примеры, б. Как определить модуль и направление скорости движения тела в любой точке траектории?

Упражнение № 7

Сопротивлением воздуха пренебречь. Считайте, что g= 10 м/с².

1. Металлический шарик подняли на высоту 1,8 м над полом и отпустили. На какой высоте ускорение свободного падения шарика будет наибольшим: а) на высоте 1,8 м; б) на высоте 1 м; в) в момент удара о пол? На какой высоте из указанных будет наибольшей скорость движения шарика? Определите эту скорость.

Стрелу выпустили из лука вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Известно, что через 2 с она уже падала вниз с той же скоростью. Определите максимальную высоту полета, путь и перемещение стрелы в течение этих 2 с. Струя воды, направленная под углом 60° к горизонту, достигла высоты 15 м.

1) Найдите: а) скорость вытекания воды; б) время полета частиц струи; в) дальность полета частиц струи.

2) Какова будет дальность полета частиц струи, если направить струю под углом 30° к горизонту?

3) Почему струя воды постепенно расширяется?

4. Из вертолета, который на высоте 45 м движется со скоростью 10 м/с, упал небольшой тяжелый предмет. Через какой интервал времени предмет упадет на землю? Какой будет скорость движения предмета в этот момент? Решите задачу для случаев, когда вертолет: 1) поднимается; 2) снижается; 3) движется горизонтально.

 

Это материал учебника Физика 10 класс Барьяхтар, Довгий