Характеристики нерівномірного обертального руху. Рух по колу (обертальний рух) може бути як рівномірним, так і нерівномірним. У рівномірному русі по колу лінійна швидкість змінюється тільки за напрямком. У нерівномірному — і за напрямком, і за числовим значенням.

Оскільки лінійне прискорення характеризує зміну лінійної швидкості і за числовим значенням, і за напрямком, то його можна подати у вигляді суми двох складових, а саме а = α_τ + a_n , де нормальне (доцентрове) прискорення а_п характеризує зміну швидкості за напрямком і

напрямлене до центра кола,

тангенціальне (або дотичне) прискорення α_τ характеризує зміну модуля швидкості й напрямлене по

дотичній до траєкторії,

Модуль лінійного (або повного) прискорення

Кут α, який утворює вектор лінійного прискорення а з радіусом-вектором рухомої точки, визначається як

У разі рівномірного обертання тіла по колу тангенціальне прискорення відсутнє.

У нерівномірному русі по колу змінюється і кутова швидкість ω, що означає наявність кутового прискорення.

Кутове прискорення έ визначається відношенням зміни кутової швидкості обертання до інтервалу часу, за який ця зміна відбулася:

Одиниця кутового прискорення — радіан за секунду в квадраті:

Вектор ε збігається за напрямком з вектором ω, якщо обертання прискорене, і напрямлений у протилежний бік, якщо обертання сповільнене.

Вираз

характеризує середню за інтервал часу Δt стрімкість зміни кутової швидкості руху матеріальної точки. Його називають середнім кутовим прискоренням. Якщо зменшувати інтервал часу, за який змінюється кутова швидкість, то що меншим буде цей інтервал,

то меншою

буде зміна кутової швидкості,

прямує до деякого гра

ничного значення. Цю границю називають миттєвим кутовим прискоренням точки в певний момент часу, отже:

Нерівномірний обертальний рух є досить складним, тому надалі будемо досліджувати рух зі сталим кутовим прискоренням ε = const, тобто рівноприскорений обертальний рух. Кутова швидкість рівноприскоре-ного обертального руху матеріальної точки в будь-який момент часу визначається формулою

Щоб встановити зв’язок між кутовим і лінійним прискореннями, скористаймося співвідношенням

Оскільки

за означенням

тангенціальне прискорення,

Отже, якщо тіло рухається по колу рівномірно, воно має лише доцентрове (нормальне прискорення), яке зумовлене зміною напрямку його

лінійної швидкості,

У разі нерівномірного руху по колу виникає тангенціальне (дотичне) та кутове прискорення, які зв’язані між собою залежністю, а_% = εr.

Кінематичні рівняння обертального руху матеріальної точки. У випадку рівномірного обертання, тобто руху з постійною кутовою швидкістю, кутове переміщення визначається площею прямокутника, одна зі сторін якого — t, а інша — ω (мал. 39, α), φ = ω^ У випадку нерівномірного руху по колу зі сталим кутовим прискоренням графік кутової швидкості має вигляд, зображений на малюнку 39, б.

Якщо на графіку (мал. 39, б) виділити вузьку смужку abc'd , ширина якої відповідає малому інтервалу часу Δ^ то вона мало відрізняється від прямокутника abcd. Для досить малого Δt можна вважати, що рух відбувається з постійною кутовою швидкістю, тому площа прямокутника abcd чисельно дорівнює кутовому переміщенню за малий інтервал часу Δ^ На такі смужки можна розбити всю фігуру, розташовану під графіком кутової швидкості. Отже, кутове переміщення при рівноприскореному русі по колу визначається площею трапеції ABCD, основами якої є відрізки CB = ω, DA = ω₀, а висота DC = t. Ураховуючи, що для рівноприскореного обертання

У векторній формі рівняння має вигляд:

Для рівноприскореного обертання виконується також формула:

Зіставлення рівнянь кінематики поступального й обертального рухів.

Для поступального руху основними характеристиками є переміщення і швидкість, для обертального — кут повороту (кутове переміщення) і кутова швидкість. У таблиці 1 зіставлено рівняння поступального та обертального рухів матеріальної точки.

Таблиця 1

ЗНАЮ, вмію, розумію

1. Який характер зміни швидкості руху тіла в його нерівномірному русі по колу?

2. Що таке повне прискорення руху тіла? З яких компонентів воно складається?

3. Яке прискорення називається тангенціальним? Нормальним? Якими формулами вони визначаються? Наведіть приклади, коли тангенціальне прискорення дорівнює нулю. А коли дорівнює нулю нормальне прискорення?

4. Що таке кутове прискорення? Яке обертання називають рівноприскореним?

Експериментуємо

Визначте кутове прискорення обертального руху кульки при скочуванні її по похилому жолобу.

Приклади розв'язування задач Задача. Колесо обертається рівноприскорено. Через 2 с від початку руху вектор повного прискорення точки, що лежить на ободі колеса, утворює кут 60° з вектором її лінійної швидкості. Визначте кутове прискорення в цей час.

Розв’язання:

Виконаємо малюнок до задачі (мал. 40). З малюнка видно, що

ВПРАВА 6

1. Колесо при обертанні має початкову частоту 5 c^-1, після гальмування протягом 1 хв його частота зменшилася до 3 c^-1. Визначте кутове прискорення колеса та кількість обертів, які колесо здійснило за цей час. Вважайте рух рівносповільненим.

2. Кутова швидкість тіла, що рухається по колу, змінюється за законом ω = 5 + 2t, де всі величини задано в СІ. Побудуйте графік зміни швидкості. Визначте кутове прискорення та початкову швидкість. Якою буде кутова швидкість через 10 с після початку обертання?

3. Тіло рухається по колу з постійним кутовим прискоренням

Скільки повних

обертів зробить тіло за 10 с, якщо початкова кутова швидкість дорівнює нулю? Якою буде кутова швидкість руху тіла в цей момент часу?

4. Тіло, що обертається зі швидкістю

зупиняється протягом 1,5 хв. Вважаючи

рух рівносповільненим, визначте кількість обертів до повної зупинки. З яким кутовим прискоренням зупиняється тіло?

5. Точка рухається по колу радіусом 20 см з постійним тангенціальним прискоренням

За який час від початку руху нормальне прискорення точки буде: а) дорівню

вати тангенціальному; б) удвічі більшим за тангенціальне? 6. Колесо обертається з кутовим прискоренням

Через інтервал часу 0,5 с від

початку руху повне прискорення колеса дорівнює

Визначте радіус колеса.

7. Вентилятор робить

Після вимикання вентилятор зупинився через 10 с. Ви

значте кутове прискорення вентилятора, вважаючи, що до зупинки він обертався рівносповільнено.

Перевірте себе (§ 1-6)

3. Для прямолінійного руху за графіком залежності проекції прискорення тіла від часу визначте графік залежності проекції швидкості цього тіла від часу.

5. Два однакові диски обертаються навколо своїх осей. Точки на краю першого диска мають в 4 рази менше доцентрове прискорення, ніж точки на краю другого диска. Визначте відношення періоду обертання першого диска до періоду обертання другого диска.

6. Тіло, що рухається прямолінійно рівноприскорено, за перші 2 с спостереження пройшло 180 м, за другі — 168 м у тому самому напрямку, за треті 2 с — 156 м і т. д. Визначте прискорення тіла.

7. Тіло нерівномірно рухається по колу радіусом 1 м. Швидкість тіла визначається законом v = 3t + 1. Визначте прискорення тіла через одну секунду після початку руху.

8. Колесо котиться по землі з проковзуванням. Швидкість верхньої точки А відносно землі направлена вправо і дорівнює

а швидкість нижньої точки В спрямована вліво і

дорівнює

Визначте швидкість точки С відносно землі.

9. Визначте радіус колеса, якщо під час його обертання лінійна швидкість точки на ободі дорівнює

а швидкість

точки, що лежить ближче до осі обертання на 15 см, дорівнює

10. Швидкість плавця відносно річки в 2 рази більша, ніж швидкість річки відносно берега. Плавець перепливає з одного берега на інший. Під яким кутом до берега відносно води йому треба плисти, щоб його знесло на мінімальну відстань?

 

Це матеріал з підручника Фізика і астрономія за 10 клас Засєкіна (профільний рівень)