Закон всесвітнього тяжіння. Аналізуючи закони Кеплера (закони руху планет, див. § 44) і закони вільного падіння тіл на Землі, Ісаак Ньютон дійшов висновку, що сили притягання мають існувати не лише на Землі, а й у космосі, що притягання тіл є властивістю матерії.

Закон всесвітнього тяжіння формулюється так:

два тіла (матеріальні точки) притягуються одне до одного із силою, прямо пропорційною добутку їх мас й обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

тут r — відстань між центрами тіл (матеріальними точками); G — гравітаційна стала.

Цей закон є основою класичної нерелятивістської теорії гравітації. Закон всесвітнього тяжіння виконується:

для тіл, лінійні розміри яких набагато менші за відстань між ними (для матеріальних точок);

для однорідних куль, наприклад системи Земля—Місяць; або для однорідної кулі й точкового тіла, наприклад, для обертання штучного супутника навколо Землі.

Для визначення сили притягання між тілами, розміри яких сумірні з відстанню між ними, необхідно умовно розбити тіла на складові частини, які можна вважати матеріальними точками, визначити сили взаємодії між цими точками й пододавати їх. Ця операція громіздка і вимагає знань з інтегрального та диференціального числення.

Гравітаційну сталу G було визначено за допомогою експериментів. Уперше це зробив англійський учений Генрі Кавендіш за допомогою крутильного динамометра (крутильних терезів). У СІ гравітаційна стала має

значення

Отже, два тіла масою 1 кг кожне, центри яких розміщені на відстані 1 м один від одного, взаємно притягуються гравітаційною силою, що дорівнює 6,67 · 10^-11 Н.

Гравітаційне поле та гравітаційна сила. Як ми з’ясували, однією з механічних властивостей матеріальних тіл є властивість взаємного притягання. Але як відбувається взаємне притягання тіл, або, як кажуть, гравітаційна взаємодія?

Гравітаційна взаємодія між тілами не залежить від середовища, у якому перебувають тіла, а здійснюється через гравітаційне поле (поле тяжіння).

Кожне тіло є джерелом гравітаційного поля. Що більшою є маса тіла, то сильніше його гравітаційне поле. Гравітаційне поле неоднорідне — воно сильніше біля поверхні тіла і слабшає з віддаленням від нього.

Гравітаційне поле, на відміну від електричного, яке існує тільки навколо електрично заряджених тіл, і магнітного, яке існує навколо рухомих електрично заряджених тіл, існує навколо всіх без винятку тіл.

У кожній точці гравітаційного поля на вміщене туди тіло діє сила притягання (гравітаційна сила або сила гравітації), пропорційна масі цього тіла.

Гравітаційні сили, які діють на кожне з двох взаємодіючих тіл, однакові за величиною і протилежні за напрямком — у повній відповідності з третім законом Ньютона. Вони напрямлені вздовж прямої, яка з’єднує центри мас тіл (сили, що відповідають таким умовам, називають центральними силами).

Зверніть увагу! Розглянуте поняття гравітації стосується випадку взаємодії тіл, що рухаються з нерелятивістськими швидкостями. У випадку сильних змінних гравітаційних полів і релятивістських швидкостей гравітаційна взаємодія описується загальною теорією відносності Альберта Ейнштейна.

Сила тяжіння. Земля оточена її гравітаційним полем, яке називають полем тяжіння Землі.

Згідно із законом всесвітнього тяжіння модуль сили тяжіння F_mm, яка діє на будь-яке тіло масою m поблизу Землі (на відстані h від її поверхні),

можна обчислити за формулою:

Сила тяжіння, що діє на тіло, напрямлена вертикально вниз і прикладена до точки, яку називають центром тяжіння тіла.

Зверніть увагу! Центр тяжіння — це зв’язана з твердим тілом точка, через яку проходить рівнодійна сил тяжіння, що діють на всі частини тіла (при будь-якому положенні тіла в просторі).

Центр маси — це точка, через яку повинен проходити напрямок дії сили, що надає тілу прискореного поступального руху.

Для тіл, розміри яких значно менші за розміри земної кулі, центр маси практично збігається з центром тяжіння.

Якщо на тіло масою m діє тільки сила тяжіння, то це тіло вільно падає, рухаючись із прискоренням вільного падіння g. Згідно з другим законом Ньютона Р_тяж = mg .

Прискорення вільного падіння. Прирівнюючи дві формули

отримаємо формулу для обчислення приско

рення вільного падіння:

Прискорення вільного падіння залежить від географічної широти. Земна куля дещо сплюснута: її полярний радіус менший від екваторіального приблизно на 21,5 км, тому і значення прискорення вільного падіння відрізняється на полюсах та екваторі: так, на полюсі

Однак ця залежність менш суттєва порівняно з добовим обертанням Землі. Оскільки Земля обертається навколо своєї осі, то вона не є інер-ціальною системою. Якщо пов’язати систему відліку з географічним полюсом Землі, що є нерухомим відносно осі обертання, то другий закон Ньютона для будь-якої точки на поверхні Землі матиме вигляд:

найкоротша відстань від точки на поверхні Землі до осі обертання.

Розрахунки показують, що через сплюснутість Землі значення прискорення вільного падіння на екваторі менше від його значення на полюсі на 0,18 %, а через добове обертання — на 0,34 %.

Прискорення вільного падіння не залежить від маси тіла (цей факт був доведений Галілео Галілеєм).

Прискорення вільного падіння змінюється з висотою. На малюнку 44 (с. 49) зображено залежність прискорення вільного падіння від відстані до центра Землі, вираженої в земних радіусах. З малюнка та формули

видно, що на відстані 4Д_З у 25 разів зменшується g.

Гравітаційне поле Землі (поле земного тяжіння) є потенціальним. У § 16, розглядаючи механічну роботу і енергію, ми детальніше встановим властивості гравітаційного поля, зокрема чому його називають потенціальним.

На значення прискорення вільного падіння також впливають родовища, що містяться в надрах Землі. Поблизу родовищ залізної та інших важких руд g більше, над родовищами газу — менше.

Практично, якщо рух у полі тяжіння Землі відбувається на висоті в кілька сот метрів

ЗНАЮ, вмію, розумію

1. Як формулюють закон всесвітнього тяжіння? Який фізичний зміст гравітаційної сталої?

2. Який вид взаємодії тіл описується законом всесвітнього тяжіння? Як здійснюється ця взаємодія?

3. Що таке сила тяжіння? За якою формулою визначають модуль сили тяжіння? Куди прикладена і як напрямлена сила тяжіння, що діє на довільне тіло?

4. Від чого залежить прискорення вільного падіння? Чи залежить прискорення вільного падіння тіла від його маси?

ВПРАВА 8

1. Яке прискорення вільного падіння на висоті, що дорівнює половині радіуса Землі?

2. Радіус планети Марс становить 0,53 радіуса Землі, а маса — 0,11 маси Землі. Визначте прискорення вільного падіння на Марсі.

3. Середня відстань між центрами Землі та Місяця дорівнює 60 земним радіусам, а маса Місяця у 81 раз менша від маси Землі. У якій точці на прямій, що з’єднує їх центри, тіло притягуватиметься до Землі й до Місяця з однаковими силами?

4. Середня густина Венери

Визначте

прискорення вільного падіння на поверхню Венери.

5. Знаючи радіус Землі, прискорення вільного падіння, визначте середню густину Землі. Порівняйте отримане значення з густиною поверхневих шарів Землі

зробіть висновок про густину надр планети.

6. На якій висоті над поверхнею Землі сила тяжіння зменшується на 10 %? Радіус Землі R = 6,37 ■ 10⁶ м.

 

Це матеріал з підручника Фізика і астрономія за 10 клас Засєкіна (профільний рівень)