Механічна енергія. Пригадаємо, що нам відомо про механічну енергію з курсу 9 класу.

Кінетична енергія Е_к — це фізична величина, яка характеризує стан рухомого тіла. Вона дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат його

швидкості:

Одиницею енергії є джоуль.

Нехай тілу масою т, яке перебуває в стані спокою, необхідно надати швидкості v. Для цього прикладена до тіла сила має виконати роботу

Тіло набуде кінетичної енергії. І навпаки, рухоме тіло

із запасом кінетичної енергії, втративши її, саме може виконати роботу, наприклад, зрушити з місця інше тіло, що трапиться на його шляху.

Значення кінетичної енергії тіла залежить від вибору системи відліку. Швидкість тіла, виміряна в різних системах відліку, має різні значення, тому й кінетична енергія тіла сталої маси матиме різні значення в різних системах відліку.

У формулі для роботи сили тяжіння A = mgh₁ - mgh₂ перший член характеризує початкове положення тіла, а другий — кінцеве. Величина mgh_l — це потенціальна енергія тіла в початковому стані, а mgh₂ — потенціальна енергія тіла в кінцевому стані. Позначивши mgh₁ = E та mgh₂ = Е_п2, можна записати: A = Е_п1 - Е_п2 = ΔΕ_η. Робота сили тяжіння дорівнює зміні потенціальної енергії тіла з протилежним знаком. Знак «мінус» вказує на те, що коли сила тяжіння сама виконує роботу (тіло падає вниз), потенціальна енергія тіла зменшується. Якщо тіло кинути вертикально вгору, то робота сили тяжіння від’ємна, а потенціальна енергія тіла збільшується. Кінетична енергія тіла при цьому змінюється навпаки: під час падіння — збільшується; під час піднімання вгору — зменшується. Іншим видом механічної енергії є потенціальна.

На відміну від кінетичної енергії, яка залежить від швидкості руху тіла, потенціальна енергія може бути відмінною від нуля навіть тоді, коли тіло перебуває у стані спокою. Наприклад, вантаж масою m, який піднятий за допомогою піднімального крана на певну висоту h й утримується у спокої, має потенціальну енергію mgh. Якщо надати вантажу можливість впасти, то сила тяжіння виконає роботу, яка дорівнює потенціальній енергії вантажу.

Величину

називають потенціальною енергією пружно деформо

ваного тіла. Позначивши

можна записати:

A = -(Е_п2 - Е_п1) = -ΔΕ_π. Робота сили пружності дорівнює зміні потенціальної енергії пружно деформованого тіла, взятій із протилежним знаком.

Як видно, робота сили пружності залежить лише від початкового і кінцевого станів пружини, тому так само, як і робота сили тяжіння, не залежить від форми траєкторії. А якщо траєкторія замкнена, робота дорівнює нулю.

Закон збереження механічної енергії. Розглянемо дію закону збереження і перетворення енергії в замкненій системі, у якій тіла взаємодіють одне з одним силами пружності або (та) силами тяжіння й жодні зовнішні сили на них не діють. Така система може мати як кінетичну, так і потенціальну енергію. Кінетичну — внаслідок руху тіл системи, потенціальну — унаслідок їх взаємодії.

Як ми вже з’ясували, за будь-яких взаємодій тіл робота сил пружності (тяжіння) визначається зміною їх потенціальної енергії, взятої з протилежним знаком: A = -(Е_п2 - Е_п1).

Водночас, робота тих самих сил, за теоремою про кінетичну енергію, визначається зміною їх кінетичної енергії: A = Е_к2 - Е_к1. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: -(Е^ - Е_гі) = Е_К2 - Е_кі, або Е_кі + Е_гі = Е_К2 + Еп2.

Суму кінетичної та потенціальної енергій тіла називають повною механічною енергію тіла: Е = Е_к + Е_п.

Кінетична і потенціальна енергії тіл можуть змінюватися з часом, але в замкненій системі їх сума залишається сталою. Закон збереження і перетворення повної механічної енергії формулюють так:

повна механічна енергія замкненої системи тіл, які взаємодіють силами тяжіння або (та) пружності, залишається незмінною за будь-яких взаємодій тіл між собою.

Формулюючи цей закон, завжди підкреслюють, що він справджується лише тоді, коли тіла взаємодіють силами пружності або (та) тяжіння без дїі сторонніх сил.

Наприклад, якщо підняти над сталевою плитою сталеву кульку й випустити потім її з рук, вона падатиме. У міру падіння кульки її потенціальна енергія меншає, а кінетична — більшає, бо зростає швидкість руху кульки. Від удару кульки об плиту деформуються і кулька, і плита, а кінетична енергія, яку мала кулька, перетворюється в потенціальну енергію деформованих плити і кульки. Потім унаслідок дії сил пружності плита і кулька наберуть своєї початкової форми, кулька відскочить від плити, а їхня потенціальна енергія знову перетвориться в кінетичну енергію кульки: кулька підскочить угору зі швидкістю, що дорівнює швидкості, яку вона мала в момент удару об плиту. Під час піднімання вгору швидкість кульки, а отже, і її кінетична енергія, зменшується, потенціальна енергія зростає. У верхній точці підйому вся кінетична енергія кульки знову перетворюється в потенціальну.

Якщо в системі діють сили тертя (опір повітря, внутрішнє тертя в речовині кульки і плити), повна механічна енергія не залишається сталою.

Робота сили тертя завжди від’ємна, тому повна механічна енергія тіла, на яке діє лише ця сила, поступово зменшується. Робота сил тертя завжди приводить до нагрівання взаємодіючих тіл, тобто до збільшення їх внутрішньої енергії.

Якщо система незамкнена і в ній діють сили тертя (опору), то зміна механічної енергії системи дорівнює сумі робіт зовнішніх сил і внутрішніх сил тертя, тобто A + A_оп = ΔΕ .

Закон збереження і перетворення енергії дає змогу розкрити фізичний зміст поняття роботи. Робота сил тяжіння або сил пружності, з одного боку, дорівнює збільшенню кінетичної енергії, а з другого — зменшенню потенціальної енергії тіл. Таким чином, робота дорівнює зміні енергії.

ЗНАЮ, вмію, розумію

1. Виведіть формулу для розрахунку роботи, що виконується у випадку зміни швидкості тіла.

2. Як зміниться кінетична енергія тіла, якщо сила, прикладена до тіла, виконує додатну роботу; від’ємну роботу?

3. Тіло кинули вертикально вгору. Вкажіть, додатну чи від’ємну роботу виконує сила тяжіння: а) під час піднімання тіла; б) під час його падіння.

4. Чи залежить робота сили тяжіння від траєкторії руху тіла в полі тяжіння Землі? Чому дорівнює робота сили тяжіння по замкненій траєкторії?

5. Чому дорівнює потенціальна енергія тіла, що перебуває на деякій висоті над землею? Як змінюється потенціальна енергія тіла під час його руху вгору?

6. Чому під час розрахунків роботи сили пружності використовують її середнє значення?

7. Що спільного у виразах для роботи сили пружності та роботи сили тяжіння? Що спільного в потенціальних енергіях тіла, на яке діє сила тяжіння, і тіла, на яке діє сила пружності?

8. Що таке повна механічна енергія? Сформулюйте й запишіть закон збереження повної механічної енергії.

9. У яких системах виконується закон збереження повної механічної енергії в загальному вигляді?

10. Як впливає на енергію системи тіл дія сили тертя?

Приклади розв'язування задач

Задача 1. Молотом, який падає з висоти h = 12 м, забивають палю. Від удару паля заглиблюється в землю на s = 2 см. Визначте середню силу удару F_c і його тривалість τ, якщо маса молота m = 5 · 10² кг, маса палі значно менша від маси молота.

Розв’язання:

Робота, яка витрачається на подолання сил опору ґрунту, дорівнює зміні потенціальної енергії молота (мал. 104):

Підставляючи числові значення, отримуємо: F_c ~ 3 · 10⁵H . Тривалість удару визначаємо із співвідношення:

Вважаємо рух палі у ґрунті рівносповільненим, тому

За законом збереження енергії початкова швидкість палі дорівнює швидкості молота на початку удару

у кінці руху палі v = 0.

Задача 2. З якої мінімальної висоти h має спускатись велосипедист, щоб проїхати за інерцією (без тертя) по внутрішній стороні велотреку у вигляді «мертвої петлі» радіусом R без відриву у верхній точці (мал. 105, с. 108)?

Розв’язання:

Виберемо нульовий рівень енергії. Пов’яжемо його з підніжжям гірки. Щодо цього рівня, тіло на висоті h має потенціальну енергію Е_п1 = mgh. У міру руху потенціальна енергія тіла зменшується й перетворюється у кінетичну енергію.

Біля підніжжя гірки потенціальна енергія тіла дорівнює нулю, а кінетична енергія максимальна й дорівнює

Далі тіло, піднімаючись угору, рухається по колу. У верхній точці кола воно має швидкість v, отже, має кінетичну енергію

Ця енергія менша від кінетичної енергії, яку тіло мало біля

підніжжя гірки, оскільки воно піднялося на висоту, яка дорівнює 2R, і набуло потенціальної енергії Е_п = mg2R.

Якщо втрат енергії немає, то сума потенціальної та кінетичної енергії в будь-якій точці траєкторії є величиною постійною.

Описуючи рух з точки зору перетворення енергії, проміжними етапами руху ми можемо не цікавитись. Вибираємо тільки два стани тіла — у вихідній точці та верхній точці кола. Згідно із законом збереження енергії Е , = Е + Е .

пі к п

У верхній точці «мертвої петлі» на велосипедиста діє тільки сила тяжіння, оскільки сила тиску коліс на поверхню компенсується силою реакції опори.

Направимо вісь Х вертикально вниз і напишемо рівняння другого закону Ньютона у векторній формі:

ВПРАВА 16

1. Визначте кінетичну енергію штучного супутника Землі масою 1300 кг, який рухається по коловій орбіті на висоті 100 км над поверхнею Землі.

2. Шофер вимкнув двигун автомобіля на швидкості

Здолавши після цього

відстань 34 м, автомобіль зупинився. Якою була кінетична енергія автомобіля в

момент вимкнення двигуна, якщо сила тертя коліс об дорогу 5880 Н? Яка маса автомобіля?

3. Яку роботу виконує сила тертя, коли автомобіль масою 1000 кг, що мав швидкість

4. Потяг на дитячій залізниці, маса якого 15 т, рушає з місця з прискоренням

Визначте роботу сили тяги та роботу сили опору на перших 10 м шляху, якщо коефіцієнт опору дорівнює 0,02. Якої кінетичної енергії набув цей потяг?

5. З якою швидкістю рухався потяг масою 1500 т, якщо під дією гальмівної сили в 150 кН він пройшов з моменту початку гальмування до зупинки шлях 500 м?

6. Баштовий кран піднімає в горизонтальному положенні сталеву балку завдовжки 5 м і перерізом 100 см² на висоту 12 м. Яку корисну роботу виконує кран?

7. Яку роботу виконує людина, піднімаючи тіло масою 2 кг на висоту 1 м з прискоренням

8. Автомобіль масою 10 т рухається з вимкненим двигуном по схилу, який утворює з горизонтом кут 4°. Обчисліть роботу сили тяжіння на шляху 100 м.

9. На балкон, розташований на висоті 6 м, кинули з поверхні землі предмет масою 200 г. Під час польоту предмет досяг максимальної висоти 8 м від поверхні землі. Визначте роботу сили тяжіння під час польоту предмета вгору, вниз і на всьому шляху, а також результуючу зміну потенціальної енергії.

10. Щоб стиснути пружину дитячого пружинного пістолета на 3 см, приклали силу 20 Н. Визначте потенціальну енергію стиснутої пружини.

11. Щоб розтягнути пружину на 4 мм, треба виконати роботу 0,02 Дж. Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути цю саму пружину на 4 см?

12. Потужність гідроелектростанції становить 73,5 МВт, ККД — 0,75. Визначте, на

який рівень гребля піднімає воду, якщо витрата води становить

13. Двигун насоса, розвиваючи потужність 25 кВт, піднімає 100 м³ нафти на висоту 6 м за 8 хв. Визначте ККД установки.

14. Куля масою 3 кг падає з висоти 3 м на пружину й стискає її. Визначте максимальний стиск пружини, якщо її жорсткість

Масою пружини знехтуйте.

15. Кулька масою 10 г, що вилітає горизонтально з пружинного пістолета, потрапляє в центр підвішеної на нитці пластилінової кулі масою 40 г і застряє в ній. Жорсткість

пружини пістолета —

стиск пружини перед пострілом — 5 см. На яку висо

ту піднімуться кульки?

16. Колода масою 10 кг скочується з гірки заввишки 5 м і зупиняється на горизонтальній ділянці шляху. Яку роботу необхідно виконати, щоб закотити колоду тим самим шляхом на гірку?

17. З гори, висота якої h = 2 м й основа d = 5 м, з’їжджають сани, які потім зупиняються, коли пройдуть по горизонталі шлях l = 35 м від підніжжя гори. Визначте коефіцієнт тертя.

18. Тіло кидають з поверхні землі вертикально вгору зі швидкістю

Визначте

максимальну висоту підйому тіла та висоту, на якій його кінетична й потенціальна енергії однакові. Опором повітря знехтуйте.

19. Тіло вільно ковзає з вершини нерухомої похилої площини під кутом α = 30° до горизонту. Визначте його швидкість у кінці похилої площини та час руху, якщо висота похилої площини 10 м, а коефіцієнт тертя 0,05.

20. Угору по похилій площині починає рухатися тіло з початковою швидкістю

На якій відстані від нижнього краю похилої площини кінетична енергія тіла зменшиться у 2 рази? Коефіцієнт тертя між тілом і площиною 0,6. Кут нахилу площини до горизонту 30°.

21. Ковзаняр масою 70 кг що стоїть у ковзанах на льоду, кидає в горизонтальному напрямку камінь масою 3 кг зі швидкістю

Визначте, на яку відстань від’їде

при цьому ковзаняр, якщо коефіцієнт тертя ковзанів об лід 0,02.

22. Сталева кулька масою 20 г падає з висоти 1 м на сталеву плиту й відскакує від неї на висоту 81 см. Визначте: а) імпульс сили, яка діє на плиту під час удару; б) кількість теплоти, яка при цьому виділяється.

23. Людина стоїть на нерухомому візку й кидає горизонтально камінь масою 8 кг зі

швидкістю

відносно Землі. Визначте, яку роботу при цьому виконує людина,

якщо маса візка разом з людиною 160 кг. Проаналізуйте залежність роботи від маси. Тертям знехтуйте.

24. Куля, що летіла горизонтально зі швидкістю

потрапляє у брусок, підвіше

ний на нитці завдовжки 4 м, і застрягає в ньому. Визначте кут, на який відхилиться брусок, якщо маса кулі 20 г, а бруска — 5 кг.

25. Два вантажі масами 10 і 15 кг підвішені на нитках завдовжки 2 м так, що вони дотикаються один до одного. Менший вантаж відхилили на кут 60° і відпустили. На яку висоту піднімуться обидва вантажі після удару? Удар вважати непружним. Яка кількість теплоти при цьому виділиться?

26. Свинцева куля масою 500 г, що рухається зі швидкістю

вдаряється в неру

хому кулю з воску масою 200 г після чого обидві кулі рухаються разом. Визначте кінетичну енергію куль після удару.

27. Дві кулі підвішені на паралельних нитках однакової довжини так, що вони дотикаються одна до одної. Маси куль — 0,2 кг і 100 г. Першу кулю відхиляють так, що її центр ваги піднімається на висоту 4,5 см, і відпускають. На яку висоту піднімуться кулі після удару, якщо удар: а) пружний; б) непружний?

28. Між двома тілами масами 6,5 та 2,5 кг стиснено пружину. Коли пружина розпрямилась, перше тіло пройшло в горизонтальному напрямку до повної зупинки шлях 1,2 м. Визначте кінетичну енергію другого тіла відразу після випрямлення пружини, нехтуючи масою пружини і вважаючи, що коефіцієнт тертя при русі тіл однаковий і дорівнює 0,2, а втрат енергії, коли пружина випрямляється, немає.

29. Куля, що летіла горизонтально зі швидкістю

ударяється об нерухомий

клин, що лежить на горизонтальній поверхні, і пружно відлітає вертикально вгору.

Початкова швидкість клина після удару

Визначте, на яку висоту підніметься куля. Опором повітря знехтуйте.

30. Маленький візок масою m = 1 кг описує у вертикальній площині «мертву петлю», скочуючись із найменшої необхідної для цього висоти (мал. 106). Визначте, з якою силою F візок тисне на рейки в точці A петлі, радіус якої утворює кут α = 60° з вертикаллю. Тертя не враховуйте.

 

 

Це матеріал з підручника Фізика і астрономія за 10 клас Засєкіна (профільний рівень)