Інформація про новину
  • Переглядів: 559
  • Дата: 21-03-2021, 23:47
21-03-2021, 23:47

Розділ 1. Математичні основи обчислювальної техніки

Категорія: Інформатика





Попередня сторінка:  10. Створення і опрацювання відео
Наступна сторінка:   Розділ 2. Кодування даних

Зміст

 

1.1. Поняття системи числення. Позиційні і непозиційні системи числення 

1.2. Переведення чисел із десяткової системи числення в довільну і навпаки 

1.3. Двійкова та шістнадцяткова системи числення. Опрацювання систем числення, основою яких є степінь двійки 

1.4. Арифметичні операції у двійковій і шістнадцятковій системах числення 

 

Практична робота № 1. Опрацювання чисел у різних системах числення

 

1.1. Поняття системи числення. Позиційні і непозиціині системи числення

 

З якими системами числення ви вже працювали? Чому, на вашу думку, десяткова система є домінуючою в побуті?

Числа виникли в глибоку давнину як засіб для лічби. Зі зростанням кількості предметів їх уже стало недостатньо. Для записування великих чисел потрібні були інші способи.

Система числення — сукупність правил запису чисел за допомогою символів (цифрових знаків) і виконання операцій над ними.

Умовні знаки (символи), використовувані для позначення чисел, називаються цифрами.

Алфавіт системи числення — сукупність цифр для запису числа. Ми записуємо числа за допомогою алфавіту з 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. І розуміємо, що одна й та сама цифра на різних місцях у числі має різні значення (приклад 1).

Розрізняють позиційні та непозиційні системи числення.

Непозиційною системою числення називають систему числення, у якій кількісний еквівалент кожної цифри визначається тільки цифрою і не залежить від її позиції у записі числа.

Непозиційні системи числення в історії людства з’явилися першими. У різних куточках світу розвивалися власні непо-зиційні системи числення. Наприклад, египитська, римська, китайська, грецька та ін.

Цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, які ми називаємо арабськими, було винайдено в Давній Індії. Саме звідти через арабські країни десяткова позиційна система числення прийшла в Європу.

Єгипетська система числення виникла в III тис. до н. е. в Давньому Єгипті. Для позначення чисел у ній використовувалися спеціальні знаки — ієрогліфи. Ієрогліфами позначалися основні числа, а в записі інших чисел ієрогліфи просто повторювалися потрібну кількість разів. На рис. 1 відображено запис числа 345.

Римська система числення виникла понад 2,5 тисячі років тому в Давньому Римі. Числа в ній записуються за допомогою цифр: I (один), V (п’ять), X (десять), L (п’ятдесят), C (сто), М (тисяча) і т. д. (рис. 2). Так, у римській системі числення рік 2021 буде записано як ММХХІ, а МММ означає 3 тисячі.

З непозиційних систем числення в наші дні збереглася лише римська система. Проте і вона сьогодні майже не застосовується, окрім позначення століть, розділів і томів видань.

Загалом, непозиційні системи числення досить складні для записування чисел і виконання арифметичних дій. Тому використовують позиційні системи числення. У час комп’ютерної техніки набули широкого розповсюдження десяткова, двійкова, вісімкова, шістнадцяткова та інші системи.

Позиційною системою числення називають систему числення, у якій кількісний еквівалент кожної цифри в числі залежить не тільки від її значення, а й від позиції в записі числа.

У позиційних системах числення позицію цифри в числі називають розрядом. Кожний розряд має свій номер.

Для цілої частини числа використовується така нумерація розрядів: молодший розряд цілого числа має номер нуль, а кожний наступний збільшується на одиницю.

У дробовій частині числа старший розряд має номер -1, а кожний наступний номер зменшується на одиницю. Отже, якщо ціла частина числа має n розрядів, а дробова — m розрядів, то старший розряд цілої частини має номер n-1, а молодший розряд дробової частини — номер -m.

У позиційних системах числення кожний розряд має свою вагу. Вона і визначає кількісний еквівалент цифри в цьому розряді. З урахуванням номера розряду й основи системи числення визначається кількісний еквівалент цифри (приклад 2).

Деякі правила римської системи числення

• Кілька однакових цифр, записані поряд, додаються:

III (три), XXX (тридцять).

• Молодша цифра, записана праворуч від старшої, додається: XIII (тринадцять).

• Молодша цифра, записана ліворуч від старшої, віднімається: IX (дев'ять), XL (сорок).

Приклад 2. У таблиці наведено кількісні еквіваленти цифр числа на прикладі з десятковим числом 326,75.

До основних характеристик позиційних систем числення належать основа і базис.

Основою позиційної системи числення є кількість цифр, які можуть використовуватися в кожному розряді числа.

Базисом позиційної системи числення є послідовність чисел, які визначають вагу розряду і можуть використовуватися в кожному розряді числа.

Вага розрядів у позиційних системах дорівнює основі системи числення у степені, що дорівнює номеру розряду. Для визначення кількісного значення цифри в позиційній системі числення необхідно помножити цю цифру на вагу розряду, так визначається її внесок у загальне кількісне значення числа (приклад 2).

Появу сучасної десяткової позиційної системи числення пов'язують з працями індійських учених. Правила виконання арифметичних дій дл я неї описав видатний математик Аль-Хорезмі. Немає точної дати появи індійської системи числення, за час появи її опису вважають 850 рік.

Приклад 2.

У десятковому числі 947 четвірка стоїть у розряді з вагою 10, отже, вона має кількісне значення 40, а в числі 0,6483

_2

четвірка стоїть у розряді з вагою 10 = 0,01, тому її внесок

у число 0,04. Так, у десятковому числі 326 так визначаються кількісні еквіваленти кожної цифри, які в сумі дають саме число (рис. 4).

Вага цифри — внесок, який вона вносить у значення числа.

Є системи числення, основа яких більше 10. У таких системах для запису цифр використовують літери:

А означає 10, В — 11, С — 12 тощо.

За значенням основи дають назву системам числення. Звична нам система з десятьма числами називається десятковою. Її базис складають числа — степені числа 10, як подано в таблиці (приклад 3). А двійкова система числення має основою 2 — дві цифри: 0 і 1. Базис цієї системи є степені числа

Зазвичай систему числення, у якій записане число, позначають нижнім індексом. Наприклад, 32610, 110012 Ці числа записано в короткій згорнутій формі.

Розгорнутою формою запису числа в позиційній системі числення є сума добутків цифр числа на вагу розряду, у якому стоїть цифра (приклад 4).

За записом числа 110012 можемо зробити висновок: значення степенів двійки 1, 8 і 16 у цьому числі є, а значення степенів 2 і 4 відсутні.

Видно, що базисом систем є послідовність степенів основи системи — геометрична прогресія зі знаменником, який дорівнює основі. Такі позиційні системи називаються традиційними. У нетрадиційних базис складається з чисел, які не утворюють геометричну прогресію.

Запитання для перевірки знань

1 Що називають системою числення?

2 Які системи називають позиційними, непо-зиційними?

3 Запишіть у римській системі числення числа 37, 19 і 43.

4 Що таке основа, базис системи числення?

5 Як визначається вага розряду в традиційній позиційній системі числення?

6 З'ясуйте, скільки цифр має система числення, основа якої дорівнює р. Перелічіть їх, якщо p = 6.

 

1.2. Переведення чисел з десяткової системи числення в довільну і навпаки

 

Пригадайте, як впливає розміщення цифри в числі позиційної системи числення. Які форми представлення мають числа?

Надалі ми будемо опрацьовувати числа з традиційних позиційних систем числення. Просто щоразу не будемо повторювати, якій саме системі належить число.

Щоб визначити внесок кожної цифри в число, слід знайти добуток цифри і ваги розряду, у якому вона стоїть. Для здійснення аналізу внеску число зручно записувати в розгорнутій формі. Це стосується всіх чисел, записаних у системах з будь-якою основою (приклад 1).

Приклад 1.

Дано число: а) 1424; б) 2АВ. Визначимо найменше значення основи системи числення, у якій записане число, та внесок кожної цифри у значення числа. Алгоритм виконання: а) Основа першого числа 5. Чому? Найбільша цифра в числі 4, отже, можна використати

цифри: 0, 1, 2, 3, 4. Усього 5 цифр. Зазначимо, що в цій системі числення 105 = 5 .

б) Аналогічно основа другого числа 12, бо найбільша цифра B = 11. І 1012 = 12. Запишемо числа в розгорнутій формі:

У наведених прикладах у записі числа в розгорнутій формі використовували вагу розряду у звичній для нас десятковій системі числення і розрахунки внеску цифр теж вели в ній, тому одразу отримували значення числа в десятковій системі.

Для переведення числа з будь-якої позиційної системи числення в десяткову необхідно обчислити суму добутків цифр числа на вагу розряду, у якому розміщена цифра.

Приклад 2.

Дано число: 326,2510; 11001.2112. Переведемо число з урахуванням дробової частини.

У комп’ютерах основною є двійкова позиційна система числення із символами 0 і 1. Використовують також системи числення з основою 16 (зазвичай у цій системі записують нумерацію комірок пам’яті; коди кольорів).

Можна домовитись і позначати цифри, значення яких більше 10, будь-якими літерами. Але в основах інформатики зазвичай дотримуються таких правил математики: для запису чисел у системі з основою p > 10 використовують десяткові цифри та літери латинського алфавіту. Таких цифр може бути 36, тому для запису числа з основою p > 36 загальноприйнятих правил не існує.

Розглянемо приклади переведення чисел (приклади 3 і 4).

Приклад 3.

Переведемо число із шістнадцяткової системи числення в десяткову.

Приклад 4.

Переведемо число з вісімкової системи числення в десяткову.

Для переведення числа з десяткової системи числення в іншу позиційну діють правила для цілої і дробової частини числа.

Алгоритм переведення цілої частини чисел з р-кової системи числення в десяткову такий:

Поділіть цілу частину числа націло на р — основу тієї системи числення, у яку переводять число

Окремо запишіть остачу від ділення

Отриману частку цілочислового ділення послідовно діліть на р — повторюйте кроки 1 і 2, поки не отримаєте частку, що дорівнює нулю. Увесь час фіксуйте остачі в порядку їх обчислення — якщо вони відсутні, то записуйте 0 обов'язково

Запишіть остачі в порядку, оберненому до порядку їх отримання (від останнього до першого), — вони і є цілою частиною числа в системі з основою р

Будь-яке число можна подати у двійковій системі числення, іншими словами: будь-яке число можна записати як суму степенів числа 2.

Алгоритм переведення дробової частини числа такий:

Помножте дробову частину числа на р — основу тієї системи, у яку переводять число

Окремо запишіть отриману дробову частину добутку та цілу

Послідовно помножте отриману дробову частину добутку на р — повторюйте кроки 1 і 2; у дробовій частині бажано отримати нуль

Увесь час фіксуйте цілі значення добутку в порядку їх отримання — якщо такі відсутні, запишіть 0

Запишіть результат. Пряма послідовність цілих значень (записаних у порядку їх отримання) і є дробовою частиною числа в системі з основою р

При переведенні в систему числення з основою p > 10 у записі числа необхідно записати числа, отримані як ціла частина добутку, а числа більші за 10 в десятковій системі, цифрами нової системи числення.

Розглянемо приклади переведення чисел (приклади 5 і 6).

Приклад 5.

Переведемо число 25,87510 у двійкову систему числення.

Рис. 1.3. Переведення числа з десяткової системи числення у двійкову

Перевести числа з однієї системи числення в іншу можна за допомогою онлайн-калькулято-ра. Для цього потрібно: у формі калькулятора ввести число; зазначити, у якій системі числення число подано; вибрати систему числення, в яку потрібно перевести число; натиснути «Порахувати».

Приклад 6.

Переведемо число 3757610 з десяткової системи числення у шістнадцяткову.

Як бачимо, з прикладів випливає, що ділити можна усно і одразу записувати результати, або письмово («у стовпчик»).

Запитання для перевірки знань

1 Як записують цифри в системах, основа яких p > 10 ?

2 Як отримати значення числа будь-якої позиційної системи в десятковій системі?

3 Сформулюйте алгоритм переведення цілих чисел з однієї системи числення в іншу.

4 Опишіть алгоритм переведення дробових чисел з однієї системи числення в іншу.

5 Як вплине на значення числа в системі числення з основою p > 10 помилковий запис у розряді двоцифрового значення замість символу латинського алфавіту? Відповідь обґрунтуйте. Наведіть приклади.

6 Як вплине на значення числа в системі числення з основою р додавання 0 в кінець цілої частини? Відповідь обґрунтуйте. Наведіть приклади.

 

1.3. Двійкова та шістнадцяткова системи числення. Опрацювання систем числення, основою яких є степінь числа 2

 

У десятковій системі числення відбувається перенесення з нульового в перший розряд, якщо є перебільшення значення 9. При перебільшенні якого значення відбувається перенесення в наступний розряд у вісімковій системі; у шістнад-цятковій?

В обчислювальній техніці для опрацювання даних використовують двійкову, вісімкову і шістнадцяткову системи числення.

Розглянемо таблицю запису десяткових чисел у цих системах.

Із таблиці видно, що запис однакових десяткових чисел у різних системах числення містить різну кількість розрядів. Оскільки 16 = 24, а 8 = 23, то для запису одного шістнадцятко-вого розряду необхідно чотири двійкові розряди, а для одного вісімкового розряду — три двійкові.

Для четвіркової системи числення необхідно два розряди двійкової, бо 4 = 22. Степінь при основі 2 визначає кількість двійкових розрядів, необхідних для запису однієї цифри.

Якщо основа однієї системи числення є цілим степенем основи іншої системи числення, то правила переведення запису чисел між такими системами спрощуються.

Порівняльна таблиця запису чисел у деяких системах числення

Для переведення числа із системи з основою, значення якої є степенем числа 2, у двійкову необхідно записати значення кожної цифри у двійковій системі числення — отримаємо групи символів.

Застосуємо наведено правило на прикладах 1-3.

З прикладу 1 видно, що кожну цифру вісімкової системи числення замінили групами з трьох розрядів (щоб отримати 8, двійку необхідно піднести до степеня 3) і записали значення цифр у двійковій системі.

Зверніть увагу на другу цифру: 38 =112, але в групі має бути три розряди, тому 38 записали як 0112. Наприклад, є дробове число 0,216. Цифру 2 необхідно записати в групі з чотирма розрядами як 0010, і тоді 0,216 = 0,00102 або 0,0012.

Для переведення числа з двійкової системи числення у число в системі з основою, що є степенем двійки (р = 2П), необхідно в цілій частині цього числа справа наліво, а у дробовій — зліва направо створити групи розрядів (кількість символів у кожній групі дорівнюватиме степеню п) і записати значення кожної групи в новій системі числення.

Під час переведення числа з двійкової системи слід уважно визначити групи. З прикладу 3 видно, що в крайній правій групі цілої частини необхідно додавати 0 зліва, а в крайній лівій групі дробової частини 0 необхідно додавати справа.

За цим правилом зручно перетворювати числа в системах з основами, що є степенями 2, використовуючи двійкову систему для отримання проміжного результату.

Приклад 3.

У крайніх групах для відповідності необхідній кількості розрядів слід дописати нулі: у цілій частині зліва, у дробовій частині справа (див. рисунок).

Порозрядне переведення числа з двійкової системи числення

у вісімкову

Алгоритм виконання дій для ланцюжка

такий:

Для кожної цифри шістнадцяткового подання числа запишіть її двійковий еквівалент, створюючи групи по 4 розряди

Отримане двійкове число розподіліть на групи з трьох розрядів. Не забувайте про крайні 0 за потреби

Кожну отриману групу двійкового числа замініть цифрою у вісімковій системі. Отримайте вісімкове число

Завдання для самостійного виконання

1 Поясніть правила переведення чисел системи з основою 2n у двійкове число.

2 Поясніть правила переведення двійкових чисел у числа системи з основою 2п.

3 Переведіть число 1110101,0112 у вісімкову систему числення. Запишіть кількість розрядів.

4 Переведіть число 1110101,0112 у шістнадцят-кову систему числення. Запишіть кількість розрядів.

5 Поясніть різницю в кількості розрядів у числах — результатах виконання п. 3 і 4.

6 Переведіть число — результат виконання п. 4 у четвіркову систему числення.

 

1.4. Арифметичні операції у двійковій і шістнадцятковій системах числення

 

Пригадайте правила додавання і віднімання чисел у стовпчик у десятковій системі числення.

Ви знаєте, що основою системи числення є розмірність алфавіту цієї системи. Значення, на одиницю більше розмірності алфавіту в будь-якій системі, вже буде записано як 10р, де р — основа.

Із цього випливає нове тлумачення поняття основи: це те мінімальне значення в одному розряді, при перевищенні якого відбувається перенесення в наступний розряд.

Дійсно, у двійковій системі числення для запису чисел використовуються символи 0 і 1. Якщо внаслідок виконання будь-якої операції буде отримано значення 2, то відбувається перенесення одиниці в перший наступний розряд і 210 = 102 .

Приклад 1.

Збільшимо цц = на 1: додамо пороз-рядно — у нульовому розряді отримаємо 1 +1 = 210. Але в алфавіті двійкової системи числення відсутня 2, її значення 102 — відбулось перенесення в інший (перший) розряд як у звичній нам десятковій системі при додаванні: 9 +1. Надалі вже в першому розряді до наявної 1 додамо перенесену 1.

Знову отримаємо 210 = 102 , і загальний результат, 410, уже буде записано як 1002.

Так відбувається з усіма позиційними системами числення. Наприклад, додамо у ві-сімковій системі 6 + 3. У десятковій системі це буде 910, а у вісімковій — 8 одиниць із 9 перенесеться в наступний розряд як 108, а в попередньому залишиться 1: 68 + 38 = 118.

Правила арифметичних дій із числами в усіх системах числення однакові, відомі вам з досвіду роботи з десятковою системою. Пригадаємо, що додавання цифр здійснюється послідовно, розряд за розрядом, починаючи з молодшого, з урахуванням одиниць перенесення з меншого розряду до більшого.

Повторимо виконання арифметичних дії у десятковій системі числення. На рис. 1 одноразово показано перенесення у старший розряд у десятковій системі.

Розглянемо приклади додавання (приклади 2 і 3).

Приклад 2.

Виконаємо додавання у двійковій системі числення. Пригадаємо:

Результат додавання двох цифр а і b в одному розряді в системі числення з основою q визначається за таким правилом:

де а і b — цифри, що додаються; q — основа системи числення. Якщо сума двох цифр більше або дорівнює системі числення, з’являється одиниця перенесення у найближчий старший розряд.

Приклад 3.

Виконаємо додавання шістнадцяткових чисел 7АВ,516 і C1D,F16. Для зручності в операціях з цифрами будемо використовувати

звичну нам десяткову систему, адже знаємо еквівалент шістнадцяткової цифри в десятковій системі.

В операції додавання відбувається перенесення одиниці до старшого розряду, а при відніманні, навпаки, зі старшого розряду береться одиниця в молодший, якщо в ньому цифра зменшуваного менша за цифру у від’ємнику.

Перед здійсненням операції доцільно проаналізувати значення чисел, потім віднімають від більшого числа менше і визначають знак результату залежно від значень зменшуваного і від’ємника. Якщо зменшуване більше за від’ємник, отримують додатній результат; якщо менше за від’ємник — від’ємний.

Результат віднімання двох цифр а і b в одному розряді в системі числення з основою q визначається за таким правилом:

де a — зменшуване і b від’ємник; q — основа системи числення. Якщо цифра зменшуваного менша за цифру від’ємника, запозичається одиниця з найближчого старшого розряду. Розглянемо приклад 4.

У комп'ютері операція віднімання здійснюється інакше: через обчислення додаткового коду двійкового подання числа і подальше додавання цього коду.

Аналогічно додаванню перенесення між розрядами здійснюється і в операціях множення. Множити двійкові числа просто, адже в результаті отримуємо або 0, або 1, і ніяких перенесень в інший розряд не відбувається:

У прикладі 4 множення здійснювали у стовпчик із зсувом кодового наступного добутку вліво. У комп’ютерах множення виконується, починаючи зі старшого розряду множника, при цьому часткові добутки зсуваються праворуч (приклад 6).

У наведених таблицях ліва верхня клітинка містить значення основи:

Приклад 6.

Ті самі числа можна помножити і так:

З іншими системами числення виникають труднощі в обчисленнях: якщо при додаванні в старший розряд переноситься 1, то в результаті множення це число значно збільшується і варто мати таблицю добутків цифр системи числення.

Приклад 7.

Виконаємо множення 2F916 • A16. Скористаємося таблицею.

Отримали результат: 2F916 • A16 = 1DBA16 .

Множення багаторозрядних чисел здійснюється аналогічно прикладу 5 за правилами множення у стовпчик.

Перевірка результату здійснюється з використанням десяткової системи.

• Кожний множник і добуток переводять у десяткову систему числення.

• Здійснюють множення десяткових чисел, отримують добуток.

Порівнюють добутки після переведення і після множення.

Якщо добутки збігаються, результат множення правильний.

З розглянутих прикладів ми бачимо, що може відбуватися перенесення значення в старший розряд.

У програмуванні вказують на те, скільки пам’яті необхідно виділити під значення змінних, тож неправильне прогнозування може призвести до перенесення в розряд, якого в поданні числа вже не існує.

Запитання для перевірки знань

1 Наведіть правило додавання двох цифр у позиційній системі числення.

2 Як виконується множення двійкових символів?

3 Як зручно перевірити правильність операцій у недесяткових системах числення?

4 Який результат суми та добутку двійкових чисел 110111,011 і 1101,001?

5 Який результат суми та добутку шістнадцят-кових чисел F7A,A і 9D,E?

6 Який результат віднімання шістнадцяткових чисел CB,E і DAF5,8?

Завдання для самостійного виконання

Виконайте арифметичні дії у двійковій системі числення.

Практична робота № 1

Тема. Опрацювання чисел у різних системах числення Завдання: виконати арифметичні дії в різних системах числення і переведення чисел з одної системи числення в іншу.

Обладнання: комп'ютер з ОС Windows 7 і старше, під'єднаний до інтернету.

Хід роботи

Під час роботи з комп’ютером дотримуйтесь правил безпеки.

1 Запишіть у двійковій і шістнадцятковій системах числення число A(10) = 235,125 . Доведіть правильність отриманого результату.

2 Числа A(10) = 19,5 і -B(10) = 23,125 переведіть у двійкову систему числення. Додайте числа у двійковій системі числення. Доведіть правильність отриманого результату.

3 Помножте число A(2) = 1101,01 на число B(2) = 1011,1. Отриманий результат переведіть у десяткову систему числення. Доведіть правильність отриманого результату.

4 Переведіть число A (10) = 96,75 у шістнад-цяткову систему числення.

5 Переведіть число A(16) = 5A,D у десяткову систему числення.

6 Складіть шістнадцяткові числа DBC7,A і EF9,5.

7 Від шістнадцяткового числа 7BA9,4 відніміть шістнадцяткове число FEC,2.

8 Здійсніть множення шістнадцяткових чисел 7BA9,4 і FEC,2.

9 Переведіть числа A(16) = 5B і B(16) = FA5 у двійкову і десяткову системи числення.

10 Переведіть числа A (8) = 76 і B(8) = 123 у двійкову, десяткову і шістнадцяткову системи числення.

11 Переведіть числа A (2) = 0,1011 і B(2) = 0,11 у десяткову систему числення.

12 Знайдіть в інтернеті онлайн-калькулято-ри для переведення чисел з однієї системи числення в іншу та для виконання арифметичних операцій над числами в різних системах числення. Скористайтеся онлайн-калькулятором для переведення чисел з однієї системи числення в іншу, а також для перевірки результатів, які ви отримали, виконуючи наведені вище завдання практичної роботи.

Зробіть висновок про ефективність методів перетворення чисел з однієї системи числення в іншу.

 

 

 

Це матеріал з підручника Інформатика 8 клас Руденко (2021)

 



Попередня сторінка:  10. Створення і опрацювання відео
Наступна сторінка:   Розділ 2. Кодування даних



^