До вивчення усного додавання і віднімання з переходом через розряд можливі два підходи: згідно з першим, випадки додавання і віднімання вивчаються паралельно, а за другим — послідовно: спочатку вивчається додавання, а потім віднімання. Також існують відмінності в опрацюванні випадків додавання і віднімання в межах 100 з переходом через розряд: спочатку вивчаються часткові випадки і лише потім — загальний або спочатку розглядається загальний випадок і лише потім — часткові випадки.

Розглянемо паралельне вивчення арифметичних дій додавання та віднімання в межах 100 з переходом через розряд, починаючи з часткових випадків.

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ У ВИПАДКУ,

КОЛИ СУМА ОДИНИЦЬ ДОРІВНЮЄ 10 АБО ЯКЩО ЗМЕНШУВАНЕ КРУГЛЕ ЧИСЛО

Випадки виду: 52 + 8, 70-8

Теоретичною основою прийому додавання є правило додавання числа до суми.

Щоб додати число до суми, достатньо це число додати до одного з доданків і до одержаного результату додати інший доданок.

Теоретичною основою віднімання є правило віднімання числа від суми.

Щоб відняти число від суми, достатньо це число відняти від одного з доданків і до одержаного результату додати інший доданок.

На підставі цих правил додаємо другий доданок до одиниць двоцифрового числа, яке подається у вигляді суми десятків та одиниць, і одержуємо 10; відняти аналогічно неможливо, тому що від одиниць зменшуваного не можна відняти одноциф-ровий від’ємник, тому зменшуване подають у вигляді суми зручних доданків, один із яких число 10, і вже з десяти віднімають від’ємник. Це обумовлює зміст підготовчої роботи до введення даних випадків обчислення:

1) доповнення числа до

2) подання числа у вигляді суми розрядних доданків: 34 = 30+4;

3) табличне додавання і віднімання в межах 10: 4+6 = 10, 10-7 = 3;

4) додавання на підставі розрядного складу числа: 60 + 2 = 62. Прийом, який застосовується при додаванні одноцифрово-

го числа з переходом через розряд, не є для учнів новим, вони познайомились з ним, додаючи одноцифрове число до двоцифрового без переходу через розряд. Тому актуалізуємо відомий учням спосіб додавання одноцифрового числа до двоцифрового без переходу через розряд і переносимо його на випадок додавання одноцифрового числа до двоцифрового, якщо сума одиниць становить 10.

Як слід міркувати, щоб до 76 додати 3? Чи можна в такий спосіб до 76 додати 4?

Порівняйте суми. Що змінилося? Як зміна другого доданка вплинула на розв'язання?

Первинне закріплення здійснюється під час розв’язування аналогічних завдань на картці з друкованою основою:

Знайдіть значення виразів.

Діти мають усвідомити відмінність нового випадку обчислення від вже відомого. З цією метою пропонується завдання.

На які дві групи можна розбити вирази? За якою ознакою? Знайдіть значення лише тих сум, які ви навчилися розв'язувати на цьому уроці.

При відніманні одноцифрового числа від двоцифрового з переходом через розряд відомий учням спосіб міркування потребує удосконалення, оскільки ми не можемо від одиниць зменшуваного відняти від’ємник.

З метою «розширення горизонтів» і підведення дітей до випадку, який розглядатиметься в подальшому, доцільне завдання. На які дві групи можна розбити вирази? За якою ознакою? Знайдіть значення лише тих сум, які ви навчилися розв'язувати на цьому уроці.

Перед введенням нового випадку віднімання доцільно опрацювати подання круглого числа у вигляді суми зручних доданків, де один із доданків число 10: 60 = 50 + 10.

Ознайомлення із даним випадком віднімання відбувається аналогічно.

Як можна міркувати, ицоб від 39 відняти 8?

Як треба міркувати, щоб від 12 відняти 8? Чим відрізняється цей випадок обчислення від попереднього?

Коментар. У цьому випадку від одиниць зменшуваного не можна відняти одноцифровий від’ємник, тому зменшуване замінюють не сумою розрядних доданків, а сумою зручних доданків.

Якщо від одиниць зменшуваного не можна відняти від’ємник, то зменшуване замінюють сумою зручних доданків, один із яких число 10.

Чи можна так само міркувати, щоб від 40 відняти 8? Чому?

Що змінилося? Як ця зміна вплинула на розв’язання?

Що спільне в обох випадках віднімання? Що спільне в розв’язанні?

Слід наголосити, що в обох випадках віднімання від одиниць зменшуваного не можна відняти одноцифровий від’ємник, тому зменшуване подають у вигляді суми зручних доданків, один із яких число 10, і від 10 віднімають одноцифровий від’ємник. Обидва випадки віднімання ґрунтуються на правилі віднімання числа від суми.

ПАМ’ЯТКА

Віднімання одноцифрового числа від круглого

Прийом віднімання числа від суми

1. Замінюю кругле число сумою зручних доданків, один із яких число 10.

2. Віднімаю від 10 одноцифровий від’ємник.

3. Додаю отриману різницю до десятків, що залишилися.

4. Записую (читаю) відповідь.

Первинне закріплення здійснюється під час роботи на картках з друкованою основою:

З метою диференціювання нового випадку віднімання від вже вивчених пропонуємо учням завдання.

На які дві групи можна розбити вирази? За якою ознакою? З різниць виключіть зайві, ті, що відрізняються способом обчислення. Знайдіть значення різниць, що залишилися.

На наступному етапі дія скорочується, міркування згортаються.

1. Як треба міркувати при додаванні? при відніманні? Виконайте розгорнений запис та поясніть вголос виконувані дії.

2. Знайдіть значення виразів, міркуючи скорочено.

Для формування обчислювальних навичок треба пропонувати дітям достатню кількість завдань на знаходження значень виразів. Спочатку завдання мають бути не однотипні, щоб дитина зверталася до розгорнених міркувань:

А потім можна пропонувати й однотипні завдання:

ВИПАДКИ ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ОДНОЦИФРОВОГО ЧИСЛА З ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ РОЗРЯД

Випадки виду: 54 + 8, 73-8.

Теоретичною основою даного випадку додавання є правило додавання числа до суми, а віднімання — правило віднімання числа від суми.

На етапі підготовки слід актуалізувати:

1) подання двоцифрового числа у вигляді суми розрядних доданків: 56 = 50 + 6;

2) табличне додавання одноцифрових чисел із переходом через розряд: 7+4 = 11;

3) додавання до круглого числа двоцифрового числа без переходу через розряд: 40 + 14 = 54;

4) табличне віднімання з переходом через розряд: 14-5 = 9;

5) додавання на підставі розрядного складу числа: 50 + 5 = 45. Ознайомлення із випадком додавання одноцифрового числа

з переходом через розряд можна провести двома способами:

1) зіставлення нового випадку з розглянутим вище: 76 + 4 та 76+5;

2) зіставлення нового випадку з випадком додавання одноциф-рового числа без переходу через розряд: 76 + 3, 76 + 5. Розглянемо першій підхід.

Знайдіть значення сум: 76 + 4 та 76 + 5. Як будемо міркувати при обчисленні першої суми? Чи можна так само міркувати при обчисленні другої суми? Прокоментуйте розв'язання.

Випадки додавання, коли сума одиниць першого та другого доданків більша за 10, вважаються випадками додавання з переходом через розряд.

Порівняйте суми. Чим вони відрізняються? Що змінилося? Як ця зміна вплинула на розв’язання? Що спільне в розв’язаннях? Чи можна при додаванні з переходом через розряд міркувати так само, як і у випадках додавання без переходу через розряд? Розглянемо другий підхід.

Як будемо міркувати при знаходженні значення першої суми? Чи можна так само міркувати при знаходженні значення другої суми? [Так, число 76 треба подати у вигляді суми десятків та одиниць. До одиниць додати другий доданок і отриманий результат додати до десятків.] Порівняйте розв’язання. Чим вони відрізняються? [У другому випадку сума одиниць першого і другого доданків дорівнює 11, і до 70 треба вже додавати не 9, а 11, що трохи важче. У результаті ми отримали число наступного розряду.]

У цьому випадку ми перейшли через розряд. Отже, випадки додавання, коли сума одиниць першого доданка і другого доданка більша або дорівнює 10, називають випадками з переходом через розряд.

Спосіб міркування для знаходження значення обох сум однаковий: двоцифровий доданок подають у вигляді суми десятків та одиниць, другий доданок додають до одиниць і отриманий результат додають до десятків.

Перед введенням нового випадку віднімання треба опрацювати подання двоцифрового числа у вигляді суми зручних доданків, у якій один із доданків — десятки, але на один десяток менше, а другий — одиниці та ще один десяток: 73 = 60+13.

Ознайомлення із випадком віднімання одноцифрового числа від двоцифрового з переходом через розряд також можна провести двома способами:

1) зіставлення нового випадку з розглянутим вище: 50 - 8 та 53 - 8;

2) зіставлення нового випадку з випадком віднімання одноцифрового числа без переходу через розряд: 76-3, 76-9. Розглянемо першій підхід.

Знайдіть значення різниць: 50 — 8 та 53 — 8. Порівняйте різниці. Чим відрізняються зменшувані? Як міркували в першому випадку? Чи можна так само міркувати в другому випадку? Чи можна в другому випадку зменшуване подати у вигляді суми зручних доданків? Яких? Від якого числа зручно відняти 8? Як будемо міркувати?

Випадки віднімання, коли від одиниць зменшуваного не можна відняти одиниці від’ємника, вважають випадками віднімання з переходом через розряд.

Учні порівнюють міркування в обох випадках, визначають спільне й формулюють ООД.

ПАМ’ЯТКА

Віднімання одноцифрового числа від двоцифрового з переходом через розряд

Прийом на основі правила віднімання числа від суми

1. Подаю зменшуване у вигляді суми зручних доданків, де перший доданок десятки, а другий — одиниці+ 10.

2. Віднімаю від’ємник від другого доданка.

3. Додаю до першого доданка отриманий результат.

4. Записую (читаю) відповідь.

Первинне закріплення здійснюється під час роботи на картках з друкованою основою.

На наступному етапі міркування скорочуються.

У подальшому навчанні розглянуті випадки додавання і віднімання одноцифрового числа з переходом через розряд розв’язуються іншим способом — частинами. Теоретичною основою цього прийому обчислення є правило додавання (віднімання) суми до числа.

На етапі актуалізації повторюємо випадки табличного додавання і віднімання з переходом через розряд, застосовуючи спосіб додавання і віднімання частинами.

Повторюємо склад одноцифрових чисел: 1) доповнюємо число до 10: 6 + Q = 10; 2) доповнюємо число до найближчого круглого числа: 67+Q = 70; 3) зменшуємо число до найближчого круглого числа: 82-1 І = 80.

Актуалізуємо випадки додавання, коли сума одиниць дорівнює 10, та випадки віднімання, якщо зменшуване — кругле число: 54 + 6 та 60-8; додавання та віднімання на підставі розрядного складу числа: 30 + 5, 45-5.

Ознайомлення здійснюється через зіставлення випадків табличного додавання з переходом через розряд та випадків додавання одноцифрового числа до двоцифрового з переходом через розряд способом додавання частинами; випадків табличного віднімання з переходом через розряд та випадків віднімання одноцифрового числа від двоцифрового з переходом через розряд способом віднімання частинами:

Порівняйте вирази в кожному рядку. Що змінилося? Порівняйте розв’язання. Що спільне в розв’язаннях? Як зміна першого доданка або зменшуваного вплинула на розв’язання?

Діти доходять висновку, що додавання одноцифрового числа до двоцифрового з переходом через розряд можна здійснити частинами, причому міркують так само, як і при додаванні одноцифро-вих чисел із переходом через розряд. Аналогічного висновку учні доходять й про віднімання частинами.

Первинне закріплення здійснюється при виконанні завдань на картці з друкованою основою.

Оскільки спосіб дії дітям добре знайомий, можна скоротити запис:

Наступним кроком є обчислення двома способами:

Коментар.

1- й спосіб — на підставі правила додавання числа до суми.

1) Перший доданок 75 подаємо у вигляді суми десятків та одиниць: 70 + 5.

2) До суми 70 та 5 додаватимемо 6; 6 додаватимемо до 5, одержимо 11.

3) До 70 додамо одержаний результат 11, буде 81.

2- й спосіб — частинами. Теоретичною основою є правило додавання суми до числа.

1) Другий доданок 6 подаємо у вигляді суми зручних доданків так, щоб 75 доповнити до круглого: 6 = 5+1.

2) До 75 спочатку додаємо 5, а потім 1. До 75 додаємо 5, буде 80.

3) До 80 додаємо решту одиниць: 80 + 1=81.

Аналогічно виконується віднімання.

1- й спосіб — віднімання на підставі правила віднімання числа від суми.

1) Зменшуване 82 подаємо у вигляді суми зручних доданків, де перший доданок десятки, але на один десяток менше, а другий — одиниці та ще один десяток: 82 = 70 + 12.

2) Від 12 відніматимемо 7: 12-7 = 5.

3) До 70 додамо одержаний результат: 70 + 5 = 75.

2- й спосіб — частинами. Теоретичною основою є правило віднімання суми від числа.

1) Від’ємник 7 подаємо у вигляді суми зручних доданків так, щоб зменшуване 82 зменшити до найближчого круглого числа 80: 7=2+5.

2) Від 82 віднімемо спочатку 2, а потім ще 5. 82-2 = 80.

3) Від 80 віднімемо ще 5, одержимо 75.

З методикою перенесення прийому округлення

в ситуацію додавання та віднімання одноцифрового числа до/від двоцифрового з переходом через розряд, а також з алгоритмами обчислення різними способами, можна ознайомитися на сайті interactive.ranok.com.ua.

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ДВОЦИФРОВИХ ЧИСЕЛ З ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ РОЗРЯД ЧАСТИНАМИ

Існує два способи додавання двоцифрових чисел із переходом через розряд частинами:

1) один із доданків замінюється сумою десятків та одиниць;

2) один із доданків замінюється сумою зручних доданків.

Що стосується першого способу, то він виконується так само, як і для випадків без переходу через розряд. Спочатку доцільно познайомити учнів з другим способом на підставі аналогії із додаванням частинами в межах 20.

На етапі актуалізації опорних знань учні:

1) доповнюють двоцифрові числа до круглих (37+3 = 40, 42 + 8 = 50);

2) додають до круглого числа двоцифрове число (60 + 12), віднімають від круглого числа одноцифрове число (40-7);

3) подають двоцифрове число у вигляді суми двоцифрового та одноцифрового числа:

4) доповнюють двоцифрове число до найближчого круглого числа:

Пригадуємо, як можна міркувати при обчисленні суми чисел 7 та 6. Учитель записує на дошці спосіб обчислення частинами.

На етапі ознайомлення перед учнями ставиться проблемне запитання: «Чи можна застосувати цей спосіб обчислення для знаходження значення суми чисел 37 і 6? 37 та 26?».

Порівняйте суми. Що змінюється? Як кожна зміна вплинула на розв’язання? Що спільне в розв’язаннях? Як міркували в усіх цих випадках? [В усіх розв’язаннях ми подавали другий доданок у вигляді зручних доданків; доповнювали перший доданок до круглого числа і додавали до круглого числа іншу частину другого доданка.]

ПАМ’ЯТКА

Додавання двоцифрових чисел із переходом через розряд

Прийом обчислення частинами

1. Подаю другий доданок у вигляді суми зручних доданків.

2. Доповнюю перший доданок до круглого числа.

3. Додаю до круглого числа іншу частину другого доданка.

4. Читаю (записую) відповідь.

Наприклад:

З метою підготовки учнів до введення віднімання двоцифрових чисел частинами доцільно опрацювати зменшення двоцифрового числа до круглого.

Ознайомлення проводимо аналогічно, зіставляючи відомий випадок табличного віднімання з переходом через розряд з новим випадком — віднімання двоцифрового числа від двоцифрового з переходом через розряд частинами:

Як можна міркувати при віднімання від 12 числа 5? А як знайти різницю чисел 42 та 5 частинами? Чи можна так само міркувати при зменшенні 42 на 25?

Що змінилося? Як кожна зміна вплинула на розв’язання?

Що спільне в розв’язаннях? Як слід міркувати при відніманні частинами?

ПАМ’ЯТКА

Віднімання двоцифрового числа від двоцифрового

Спосіб віднімання частинами

1. Подаю від’ємник у вигляді суми зручних доданків.

2. Зменшую двоцифрове число до круглого.

3. Віднімаю від круглого числа решту одиниць.

4. Записую (читаю) відповідь.

Наприклад:

Первинне закріплення додавання і віднімання двоцифрових чисел із переходом через розряд частинами відбувається за допомогою завдань на картках із друкованою основою.

Треба запропонувати учням достатню кількість завдань на обчислення. Поступово дія почне скорочуватися. Учень усі кроки промовлятиме про себе, а писатиме лише відповідь. Кульмінацією є миттєве виконання дії у розумовому плані.

При додаванні і відніманні двоцифрових чисел без переходу через розряд учні виконували додавання і віднімання частинами, замінюючи другий доданок або від’ємник сумою розрядних

доданків. Цей спосіб міркування слід перенести й на випадки обчислення з переходом через розряд.

На етапі актуалізації слід повторити:

1) подання числа у вигляді суми розрядних доданків: 67=60+7;

2) додавання і віднімання частинами двоцифрових чисел без переходу через розряд.

Ознайомлення відбувається через перенесення способу обчислення для випадків без переходу через розряд на випадки з переходом.

Порівняйте вирази в кожному стовпчику. Що змінилося? Як ця зміна вплинула на розв’язання? Що спільне в розв’язаннях? Як треба міркувати при додаванні або відніманні частинами?

ПАМ’ЯТКА

Додавання і віднімання двоцифрових чисел

Спосіб додавання і віднімання частинами

1. Замінюю другий доданок (від’ємник) сумою десятків та одиниць.

2. Віднімаю десятки.

3. Віднімаю від отриманого результату одиниці.

4. Записую (читаю) відповідь.

Відтепер учні додають та віднімають двоцифрові числа з переходом через розряд частинами двома способами: замінюючи другий доданок або від’ємник сумою зручних або сумою розрядних доданків.

ПОРОЗРЯДНЕ ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ

До цього моменту учні навчилися додавати і віднімати двоцифрові числа частинами, замінюючи другий доданок або від’ємник сумою розрядних доданків, і вміють порозрядно обчислювати суму та різницю двоцифрових чисел без переходу через розряд. Таким чином, існує необхідне підґрунтя для перенесення способу порозрядного додавання і віднімання на обчислення з двоцифровими числами з переходом через розряд.

Зміст підготовчої роботи має включати такі запитання:

1) порозрядне додавання і віднімання двоцифрових чисел без переходу через розряд;

2) додавання у випадку чотирьох доданків зручним способом: 20+ 6+30+8;

3) подання двоцифрового числа у вигляді суми розрядних доданків: 67 = 60 + 7;

4) подання двоцифрового числа у вигляді суми зручних доданків: 42 = 30+ 12.

Основною ідеєю методики ознайомлення є зіставлення випадків обчислення без переходу через розряд і нових випадків додавання або віднімання двоцифрових чисел із переходом через розряд.

Порівняйте доданки в сумах. Що змінилося? Як ця зміна впливає на розв'язання?

З’ясовуємо, що спільне в розв’язаннях. Діти доходять висновку, що порозрядне додавання виконується так само, як і у випадках без переходу через розряд, і формулюють пам’ятку.

ПАМ’ЯТКА

Додавання двоцифрових чисел із переходом через розряд

Прийом порозрядного додавання

1. Подаю перший доданок у вигляді суми десятків і одиниць.

2. Подаю другий доданок у вигляді суми десятків і одиниць.

3. Додаю десятки до десятків.

4. Додаю одиниці до одиниць.

5. Додаю отримані суми.

6. Читаю (записую) відповідь.

Наприклад:

Треба зазначити, що існує й інший спосіб введення порозрядного додавання двоцифрових чисел без переходу через розряд. Порівнюємо такі випадки:

У цих сумах однакові перші доданки; суми відрізняються другими доданками: у першій — одноцифрове число, а в другій — двоцифрове. Ця відмінність вплинула на розв’язання таким чином. Спільне: в обох випадках одиниці додаються до одиниць. Відмінне: у другому випадку обидва доданки подаються у вигляді суми десятків та одиниць; у першому випадку — лише перший доданок, тому що другий доданок — одиниці; у другому випадку десятки додають до десятків, а в першому — другий доданок не містить десятків; у другому випадку додаються отримані результати, а в першому — число, отримане після додавання одиниць, додається до десятків.

Як від 56 відняти 24 способом порозрядного віднімання? Порівняйте другу різницю з першою. Що змінилося? Як ця зміна вплине на розв'язання?

Учні з’ясовують, що у другому випадку від одиниць зменшуваного не можна відняти одиниці від’ємника, тому зменшуване треба подати не у вигляді суми розрядних доданків, а замінити сумою зручних доданків.

Треба зазначити, що можливий інший методичний підхід через зіставлення випадку віднімання одноцифрового числа із переходом через розряд і віднімання двоцифрового числа.

Як від 56 відняти 7? Порівняйте другу різницю з першою. Що змінилося? Як ця зміна вплине на розв'язання?

Аналізуючи виконувані дії, учні формулюють ООД.

ПАМ’ЯТКА

Віднімання двоцифрових чисел із переходом через розряд

Прийом порозрядного віднімання

1. Подаю зменшуване у вигляді суми зручних доданків (другий доданок: 10+одиниці зменшуваного).

2. Подаю від’ємник у вигляді суми десятків і одиниць.

3. Віднімаю десятки.

4. Віднімаю одиниці.

5. Додаю отримані різниці.

6. Читаю (записую) відповідь.

Наприклад:

Зіставляючи порозрядне віднімання двоцифрових чисел без переходу та з переходом через розряд, учні доходять висновку, що коли від одиниць зменшуваного не можна відняти одиниці від’ємника, то зменшуване подають у вигляді суми зручних доданків, а далі міркують так само, як і у випадках віднімання без переходу через розряд. Узагальнюємо виконувані дії і формулюємо пам’ятку.

ПАМ’ЯТКА

Прийом порозрядного віднімання

1. Перевіряю, чи можна від одиниць зменшуваного відняти одиниці від’ємника.

3. Подаю від’ємник у вигляді суми десятків та одиниць.

4. Віднімаю десятки.

5. Віднімаю одиниці.

6. Додаю отримані різниці.

7. Читаю (записую) результат.

Наприклад:

Первинне закріплення здійснюється за допомогою завдань на картках з друкованою основою.

У міру того як учні засвоюють матеріал, дія поступово скорочується, і можна пропонувати учням дещо інші картки з друкованою основою.

З метою формування обчислювальних навичок слід пропонувати учням достатню кількість завдань на порозрядне додавання і віднімання з переходом через розряд.

Пропонуємо учням здійснювати обчислення кількома способами:

Про перенесення прийому округлення в нову навчальну ситуацію можна прочитати на сайті interactive.ranok.com.ua.

 

 

 

Це матеріал з посібника "Методика навчання математики у 1-2 класах" Скворцова, Онопрієнко