Інформація про новину
  • Переглядів: 17
  • Дата: 13-11-2021, 10:47
13-11-2021, 10:47

2.2.6. Табличне множення та ділення

Категорія: Методичні матеріали





Попередня сторінка:  2.2.5. Додавання і віднімання чисел у меж...
Наступна сторінка:   3.1 Методика навчання розв'язування за...

Очікувані результати навчання здобувачів освіти див. на сайті interactive.ranok.com.ua.

Конкретний зміст арифметичних дій множення і ділення розкривається на прикладі задач, тому зміст підготовчої роботи до введення арифметичних дій множення і ділення нами розглянуто в контексті підготовчої роботи до введення задач на розкриття суті арифметичних дій множення і ділення.

П. М. Ерднієвим і М. П. Ерднієвим та багатьма десятиліттями шкільної практики доведена ефективність одночасного розгляду арифметичних дій множення та ділення, розгляду цих дій у співставленні. Тому розглянемо методику навчання арифметичних дій множення і ділення на основі теорії укрупнення дидактичних одиниць П. М. Ерднієва [37].

ЗМІСТ ТА МЕТОДИКА ПІДГОТОВЧОГО ЕТАПУ

З метою реалізації принципу укрупнення дидактичних одиниць підготовча робота й ознайомлення з конкретним змістом арифметичних дій множення та ділення відбуваються за двома циклами:

1) конкретний зміст дії множення і ділення на вміщення;

2) конкретний зміст дії ділення на рівні частини та ділення

на вміщення.

Під час вивчення нумерації чисел у межах 100 діти впевнилися в користі групування предметів при лічбі: вони лічили двійками, трійками... десятками. На етапі підготовчої роботи до введення арифметичної дії множення продовжуємо лічити групами. Для полегшення лічби групами можна використовувати стрічку чисел від 1 до 100. Стрічка може бути виготовлена зі смужки картонного паперу завдовжки 1 м і завширшки 1 см. Уся стрічка ділиться на 100 клітинок, у кожну клітинку записуються числа по порядку від 1 до 100. За допомогою стрічки учні можуть легко виконувати лічбу шістками, сімками і т. д. Наприклад, для виконання лічби шістками шукаємо на стрічці число 6, перегинаємо на смужці по 6 кліток, читаємо числа: 6, 12, 18, 24...

Практичне значення групової лічби показується на прикладах із життя: лічба вишень по З (3+ 3 + 3 = 9), лічба паличок, із яких складено чотирикутники (4+4 + 4 + 4 + 4 = 20) тощо.

З метою демонстрації необхідності знаходження суми однакових доданків учням пропонуються також задачі.

Розв'яжіть задачу.

Мама купила три пучки моркви, у кожному пучку по 4 морквини.

Скільки всього морквин купила мама?

Діти розв’язують цю задачу як задачу на знаходження суми трьох доданків.

Усього морквин стільки, скільки буде, якщо по 4 морквини взяти 3 рази. Далі вчитель звертає увагу учнів на короткий запис задачі і показує учням, що його можна виконати інакше, використовуючи слова з умови задачі «по ... взяти ... разів»:

Таким чином, можна вже на етапі підготовчої роботи познайомити дітей з опорною схемою задач на знаходження суми однакових доданків — на конкретний зміст дії множення; але такі задачі поки що розв’язуються дією додавання.

Наступним кроком можна запропонувати завдання на складання виразу — суми однакових доданків — за малюнком, а далі — сюжетної задачі за виразом, який є її розв’язком.

Запис розв’язання задач аналізується і звертається увага дітей на те, що в сумі доданки однакові. Можна запропонувати таку форму запису:

У процесі такої роботи учні усвідомлюють роль групової лічби, засвоюють цю техніку; розв’язують вирази на знаходження суми однакових доданків.

Наприклад, знайти значення суми: 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

Увага при виконанні таких завдань звертається на те, що доданки однакові й визначається число однакових доданків. Розв’язання записуємо таким чином (і обов’язково коментуємо):

Під час підготовчої роботи до ознайомлення з дією ділення на вміщення учні виконують практичні завдання.

Розв'яжіть задачу.

12 зошитів роздали учням, по 4 зошити кожному. Скільки учнів отримали зошити?

По скільки зошитів повинні отримати учні? [По 4 зошити.] Візьміть 4 зошити і дайте першому учню. Якщо ми віддаємо зошити, то зошитів лишається більше чи менше? Якою арифметичною дією ми дізнаємось, скільки зошитів залишилося? [Дією віднімання.] Запишемо це: 12-4.

Чи всі зошити ми роздали?

Візьміть ще 4 зошити і дайте другому учневі. Продовжимо записувати вираз: 12-4-4.

Чи всі зошити роздали? [Ні, не всі.] Візьміть ще 4 зошити і дайте ще одному учневі. Запишемо: 12-4-4-4.

Чи всі зошити ми роздали? Запишемо це: 12-4-4-4 = 0.

Скільки учнів отримали зошити? [З учні отримали зошити.] Учнів буде стільки, скільки у 12 зошитах вміщується по 4 зошити. Запишемо це:

Коментуємо запис: у 12 міститься по 4 три рази.

На наступному етапі пропонуємо учням розв’язати задачі

виду:

У бабусі 6 яблук, вона ними пригостила онуків. Кожному онукові вона дала по 3 яблука. Скільки онуків одержали яблука? Можна кожне з 6 яблук позначити кружком і дужкою відділити яблука, що дали кожному онукові. А можна виконати схематичний рисунок, позначивши кожне яблуко відрізком завдовжки 1 клітинка.

Стільки онуків одержали яблука, скільки в 6 яблуках вміщується по 3 яблука. Тому короткий запис:

У 6 ябл. вміщується по 3 ябл. — ?

Розв’язання:

Відповідь: 2 онуки одержали яблука.

Далі пропонуємо завдання на складання задач, розв’язком яких буде вираз: 8-2-2-2-2.

Також корисні завдання на знаходження значення різниці, у якій декілька однакових від’ємників: 15-5-5-5. Коментуємо: у 15 вміщується по 5 три рази.

З метою запам’ятовування мовленнєвих конструкцій доцільно пропонувати математичні диктанти. Наприклад:

1) Скільки одержимо, якщо по 8 взяти 6 разів?

2) Скільки разів в 36 міститься по 9?

3) По 12 взяти 5 разів. Скільки буде?

4) Скільки разів у 45 міститься по 5?

Корисними є завдання на визначення закономірності та продовження ряду чисел:

ОЗНАЙОМЛЕННЯ З АРИФМЕТИЧНИМИ ДІЯМИ МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ

Учні мають засвоїти те, що суму однакових доданків можна замінити множенням, а віднімання однакових чисел, доки не одержимо нуль, — діленням; навчитися виконувати відповідні записи та розуміти, що означає кожне число в записі.

Пропонуємо дітям задачі.

Розв'яжіть задачу.

За партою сидять по два учні. Скільки учнів сидять за восьма партами?

Школярі розповідають, про що йдеться в задачі; пояснюють числа і запитання задачі: «Усього учнів стільки, скільки буде, якщо по 2 учні взяти 8 разів»; записують задачу коротко та виконують схематичний рисунок. Далі школярі визначають, що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі, та з’ясовують, якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі.

Якою дією відповімо на запитання задачі? [Дією додавання.] Запишемо розв’язання: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2-1-2 = 16 (уч.). Запишемо відповідь: 16 учнів сидять за 8 партами. Чим цікава ця сума? [Тут всі доданки однакові.] У математиці додавання однакових доданків називають множенням. Множення — це нова арифметична дія.

Які арифметичні дії ми знаємо? [Додавання, віднімання.] У кожної дії є свій знак: у додаванні «+» — плюс, у відніманні «-» — мінус. Множення записується знаком «•» — крапка.

Суму однакових доданків замінимо множенням; за допомогою нового знака записуємо вираз так: 2 • 8 = 16.

На першому місці пишемо однаковий доданок 2, а на другому — кількість рівних доданків — 8. Цю рівність читаємо так: два помножити на вісім дорівнює шістнадцять; або по два взяти вісім разів отримаємо шістнадцять.

Запишемо розв’язання задачі за допомогою дії множення:

2 • 8 = 16 (уч.).

Таким чином, ми розглянули інший спосіб розв’язання цієї задачі.

Відповідаємо на запитання задачі: 16 учнів сидять за 8 партами.

Складаємо і розв’язуємо обернену задачу:

У класі 16 учнів, їх слід розмістити за партами, по 2 учні за кожну

парту. Скільки має бути парт у класі?

Школярі розповідають, про що йдеться в задачі; пояснюють числа і запитання задачі; складають схематичний рисунок. Парт буде стільки, скільки разів у 16 вміщується по 2 учні. Діти записують задачу коротко; визначають, що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі, та з’ясовують, якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі.

Якою дією відповімо на запитання задачі? [Дією віднімання.]

Запишемо розв’язання:

У 16 вміщується по 2 вісім разів, тому 8 парт потрібно, щоб розмістити 16 учнів, по 2 учні за кожною партою.

Запишемо відповідь: 8 парт потрібно.

Чим цікавий цей вираз? [Тут ми декілька разів віднімаємо одне й те саме число, доки не отримаємо нуль.]

У математиці віднімання однакових чисел, доки не отримаємо нуль, можна замінити діленням. Ділення — це нова арифметична дія.

Які арифметичні дії ми знаємо? [Додавання, віднімання, множення.] У кожної дії є свій знак: у додаванні «+» — плюс, у відніманні «-» — мінус, у множенні «•» — крапка. Ділення записується знаком «:» — двокрапка.

Різницю однакових від’ємників, результатом якої є число 0, замінимо діленням; запишемо вираз за допомогою нового знака: 16 : 2 = 8.

На першому місці пишемо зменшуване, на другому — однаковий від’ємник, а після знака рівності пишемо, скільки разів вміщується в зменшуваному однаковий від’ємник. Цю рівність

читаємо так: 16 поділити по 2 отримаємо 8, або у 16 вміщується по 2 вісім разів.

Запишемо розв’язання задачі за допомогою дії ділення: 16 : 2 = 8 — у дужках нічого не пишемо, тому що ми отримали, що 8 разів вміщується у 16 по 2, і лише після цього зробили висновок про кількість парт, які необхідні для розміщення учнів. Таким чином, ми розглянули інший спосіб розв’язування цієї задачі.

Далі діти розв’язують задачі на конкретний зміст дії множення двома способами (додаванням та множенням) і на конкретний зміст дії ділення на вміщення (відніманням та діленням). Причому на цьому етапі результат дії множення учні знаходять, замінюючи множення додаванням однакових доданків, а результат дії ділення — відніманням однакових чисел, у результаті якого одержують нуль. Корисно також розв’язати пари обернених задач: на конкретний зміст множення та ділення на вміщення.

Доцільно дійти висновку:

Щоб отримати більше число, треба додати або помножити, а для того щоб отримати менше число, треба відняти або поділити.

Щоб визначати, коли слід множити або ділити, учні повинні засвоїти мовні конструкції: «взяли, склали по...» — слід виконувати дію множення; «розділили, розклали, розсипали по...» — дію ділення. Таким чином, якщо треба знайти більше число і при цьому об’єднувати по, то виконуємо множення; якщо щось зменшилося і при цьому вилучали по, то виконуємо дію ділення. Виходячи з цього можна зробити узагальнений висновок:

Конкретний зміст дії множення закріплюється під час виконання завдань.

1. Замініть суми однакових доданків добутками за зразком.

2. Замініть добутки сумами однакових доданків і знайдіть значення виразів.

3. Прочитайте рівності на множення і перевірте відповіді додаванням.

Як можна спростити другий вираз? Що в ньому цікаве? [У ньому є два однакові доданки, їх можна замінити добутком.]

9+9+6=9•2+6

Конкретний зміст дії ділення на вміщення закріплюється під час виконання завдань.

1. Замініть віднімання однакових чисел дією ділення за зразком.

2. Замініть ділення відніманням і знайдіть значення часток.

3. Знайдіть значення рівностей на ділення і перевірте отримані результати відніманням.

4. Знайдіть вирази, які можна замінити діленням.

На цьому етапі при виконанні математичних диктантів діти записують вирази, використовуючи дії множення та ділення, а знаходячи їх значення, замінюють множення — додаванням, ділення — відніманням.

НАЗВИ КОМПОНЕНТІВ І РЕЗУЛЬТАТІВ АРИФМЕТИЧНИХ ДІЙ МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ

Познайомити з назвою компонентів і результатів дій множення та ділення можна на підставі аналогії між діями множення і додавання, ділення і віднімання. Доцільно підкреслити, що множення визначається через додавання, а ділення — через віднімання; виходячи з цього, у дій додавання і множення, віднімання і ділення має бути багато спільного. Спільне можна побачити в назвах компонентів цих дій: при додаванні і множенні компоненти, з якими виконують ці дії, називають за характером дії (додають — доданок, множать — множник) однаково, лише кажуть про

порядок — перший

Числа, які множать, називають множниками. Число, яке дістаємо при множенні, називають значенням добутку.

Виходячи з конкретного змісту арифметичної дії множення (множення можна замінити сумою однакових доданків), перший множник показує, яке число є однаковим доданком, а другий — скільки разів його слід додати.

Якщо два числа поєднані знаком множення, то записаний математичний вираз — добуток. Щоб записати добуток двох чисел, треба поєднати їх знаком множення.

Закріплюються назви компонентів і результату дії множення на вправах.

1. Підкресліть у рівностях перший множник однією рискою, другий множник — двома. Що показує перший множник? Другий множник?

Перший множник — число 4, другий множник — число 6, значення добутку — число 24.

Число, яке ділять, називають діленим; число, на яке ділять, — дільником. Число, яке дістаємо при діленні, називають значенням частки.

Якщо два числа поєднані знаком ділення, то записаний математичний вираз — частка. Щоб записати частку двох чисел, треба поєднати їх знаком ділення.

Для закріплення назв чисел при діленні учням пропонуються вправи.

1. У рівностях підкресліть ділене однією рискою, а дільник — двома.

На цьому етапі завдання для математичного диктанту можна урізноманітнити таким чином:

1) Скільки разів в 24 міститься по 4?

2) Скільки одержимо, якщо по 18 взяти 3 рази?

3) 8 помножити на 6.

4) 36 розділити на 9.

5) Запишіть частку чисел 60 та 12 і знайдіть її значення.

6) Запишіть добуток чисел 19 та 4. Знайдіть його значення.

7) Перший множник 7, другий множник 5, знайдіть значення добутку.

8) Ділене 56, дільник 7, знайдіть значення частки.

Зазначимо, що значення часток та добутків діти знаходять,

замінюючи ділення відніманням, а множення — додаванням.

ПЕРЕСТАВНИЙ ЗАКОН ДІЇ МНОЖЕННЯ

Серед знань, які складають теоретичну основу побудови таблиць множення, виділяється переставний закон дії множення. Використання цього закону полегшує складання таблиць і зменшує число табличних випадків для запам’ятовування. Тому доцільно познайомити учнів із переставним законом відразу, після засвоєння конкретного змісту дії множення.

Переставний закон дії множення можна ввести двома шляхами: І — через виконання практичних дій із математичними матеріалами, II — на підставі аналогії з переставним законом дії додавання.

Розглянемо другий шлях.

Як називають числа при додаванні? [Доданок, доданок, значення суми.] Цікаво, що компоненти дії додавання називають однаково — доданки.

У результаті додавання отримаємо більше чи менше число? [У результаті додавання отримаємо більше число, сума більша за доданки, якщо доданки відмінні від 0.]

Сформулюйте і запишіть переставний закон додавання. [Від переставляння доданків значення суми не змінюється. Числа можна додавати в будь-якому порядку: а + в = в+а.]

Якою арифметичною дією можна замінити додавання однакових доданків? [Множення — це додавання однакових доданків.]

Як називають числа при множенні? [Множник, множник і значення добутку.] Цікаво, що компоненти дії множення називають однаково. Це в них є спільним!

У результаті множення отримаємо більше чи менше число? [Більше, значення добутку більше за кожний множник, якщо множники відмінні від нуля або одиниці.]

Згадайте, чи виконували ми раніше таку арифметичну дію, у якій компоненти називають однаково, а в результаті отримуємо більше число? [Так, це дія додавання, якій притаманне все вище сказане.]

Що ми знаємо про дію додавання, а ще не знаємо про дію множення? [Дії додавання притаманний переставний закон.]

Може, такий закон існує і для дії множення? Який вигляд він мав би? Що треба змінити в записі переставного закону додавання, щоб отримати переставний закон множення? [Треба змінити знак «+» на знак «•». Отримаємо: а-в = в-а.]

Це треба перевірити. Наведіть свій приклад на застосування переставного закону множення. [5 • 3 повинно дорівнювати 3-5. Перевіримо це: 5-3 = 5-1-5-1-5 = 15, 3-5 = 3 + 3-1-3-1-3-1-3 = 15, 15= 15 — це правильна (істинна) рівність.]

Який висновок можна зробити? [Дії множення притаманний переставний закон.]

Сформулюйте переставний закон множення. Що треба змінити у формулюванні переставного закону додавання? [Від перестановки множників значення добутку не змінюється. Числа можна множити в будь-якому порядку.]

Можна поєднати формулювання переставного закону додавання та множення.

З метою засвоєння переставного закону учням пропонуються завдання.

1. Порівняйте добутки в кожному стовпчику. Чи можна для знаходження значення другого добутку скористатися значенням першого?

2. Знайдіть значення добутків у першому рядку на підставі конкретного змісту дії множення. Як, не застосовуючи попередній спосіб, дізнатися про значення добутків у другому рядку?

ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК МНОЖЕННЯ ТА ДІЛЕННЯ

Введення взаємозв’язку арифметичних дій може відбуватися двома шляхами: І — через виконання практичних вправ з математичними матеріалами, наприклад, із набором геометричних фігур, та II — шляхом аналогії між арифметичними діями множення і додавання, ділення і віднімання.

Розглянемо другий шлях.

Учні можуть дійти висновку про взаємозв’язок цих дій за аналогією до взаємозв’язку арифметичних дій додавання та віднімання: слід порівняти між собою дії додавання і віднімання; множення і ділення як взаємно обернені арифметичні дії. Додавання і віднімання — взаємно обернені дії, вони пов’язані між собою так: якщо від суми двох доданків відняти один доданок, то залишиться інший доданок, тому додавання перевіряється відніманням.

Якщо взяти до уваги, що множення — це додавання однакових доданків (а ділення — це віднімання однакових чисел, доки не отримаємо нуль), то, замінивши додавання на множення, а віднімання — на ділення, отримаємо взаємозв’язок між діями множення і ділення.

Можна виготовити плакат із рухомими рисками, на яких записані знаки арифметичних дій: одним рухом знак «+» замінюється знаком «•», знак «-» — знаком «:».

Отже, множення і ділення — також взаємно обернені дії, вони пов’язані аналогічно: якщо добуток двох множників поділити на один із множників, то отримаємо інший множник, тому множення перевіряється діленням. Таким чином, на підставі порівняння взаємозв’язків додавання і віднімання, множення і ділення можна зробити узагальнений висновок.

Для закріплення взаємозв’язку арифметичних дій множення та ділення пропонуємо дітям із кожної рівності на множення скласти по дві рівності на ділення.

На підставі взаємозв’язку арифметичних дій додавання і віднімання на попередньому етапі навчання було дано означення дії віднімання.

Від числа а відняти число в — це означає знайти таке число с, яке в сумі з від’ємником в дає зменшуване а. Тому віднімання перевіряється додаванням. Аналогічно, на підставі взаємозв’язку арифметичних дій множення і ділення можна дати означення арифметичної дії ділення.

Число а поділити на число в — це означає знайти таке число с, яке в добутку із дільником в дає ділене а.

ВЛАСТИВОСТІ МНОЖЕННЯ ТА ДІЛЕННЯ З 0 ТА 1

Перед складанням таблиць множення і ділення доцільно познайомити учнів із множенням та діленням з числами 0 та 1.

На етапі актуалізації повторюємо взаємозв’язок дій множення та ділення: учні з однієї рівності на множення складають по дві рівності на ділення; а також переставний закон множення: до кожної рівності на множення складають ще одну рівність, значення добутку якої відоме на підставі переставного закону.

Ознайомлення з властивостями множення з 0 та 1 відбувається за допомогою індуктивних узагальнень. На підставі конкретного змісту дії множення діти знаходять значення добутків: 1 та 6, 1 та 4, 1 та 10.

Порівнюючи значення добутку і другий множник, діти впевнюються, що вони рівні. Постає проблемне запитання: «Чи завжди при множенні одержуємо число, що дорівнює другому множнику?». [Звичайно, не завжди!] А у якому ж випадку? [У випадку множення числа 1 на будь-яке число одержуємо те саме число.]

Спираючись на переставний закон множення, школярі знаходять значення добутків 6 та 1, 4 та 1, 10 та 1 і доходять висновку:

При множенні числа 1 на будь-яке число або числа на 1 одержимо те саме число.

Аналогічно будується методика ознайомлення молодших школярів із правилом множення нуля на будь-яке число або числа на нуль. Учні доходять висновку:

При множенні нуля на будь-яке число або числа на нуль одержимо нуль!

Закріпленням цих правил є виконання завдань типу: Знайдіть значення виразів.

Корисним буде порівняння пар виразів: на множення та додавання числа 1; на множення та додавання числа 0. Учні доходять висновку: при множенні на 1 одержимо те саме число, а при додаванні 1 — наступне число; при множенні на 0 одержимо число 0, а при додаванні числа 0 — те саме число.

Також має сенс знаходити значення пар виразів: один з яких на множення з числом 1, а інший — на додавання з числом 0. При множенні значення добутку дорівнює одному з множників у випадку, коли інший множник число 1. При додаванні значення суми дорівнює одному з доданків у випадку, коли інший доданок — число 0.

При ознайомленні з властивостями множення з 0 та 1 розглядаємо рівності, у яких перший множник число 1 або число 0. На підставі взаємозв’язку арифметичних дій множення та ділення учні складають з рівності на множення дві рівності на ділення. Учні самостійно формулюють відповідні правила:

1) при діленні числа саме на себе в результаті одержуємо 1: а : а = 1;

2) при діленні будь-якого числа на 1 в результаті одержуємо те саме число: а : 1 = а;

3) при діленні нуля на будь-яке число в результаті одержуємо нуль: 0 : а = 0;

4) ділити на нуль не можна, тому що не існує такого числа, яке при множенні на нуль дає число, відмінне від нуля.

З метою засвоєння цих правил пропонуємо дітям навести власні приклади на кожне з цих правил, а також виконати завдання.

Доцільно порівняти пари виразів, перший з яких є часткою однакових чисел, а другий — різницею однакових чисел; перший — частка числа та 1, а другий — різниця числа та 1. Доходимо висновку, що при діленні однакових чисел одержуємо 1, а при відніманні однакових чисел одержуємо нуль; при діленні на 1 одержуємо те саме число, а при відніманні 1 — попереднє число.

Також корисним є порівняння таких пар виразів: перший — частка нуля та числа, а другий — різниця однакових чисел;

перший — частка числа та 1, а другий — різниця числа та нуля. Учні доходять висновку: значення частки дорівнює нулю в тому випадку, коли ділене нуль, а значення різниці дорівнює нулю, коли зменшуване та від’ємник рівні числа; значення частки дорівнює діленому в тому випадку, коли дільник — число 1, значення різниці дорівнює зменшуваному в тому випадку, коли від’ємник — число 0.

МНОЖЕННЯ ТА ДІЛЕННЯ НА 10

З метою створення можливості застосовувати в подальшому навчанні при складанні таблиць множення ще один спосіб відтворення табличних результатів — на підставі наступного значення — необхідно познайомити учнів із правилами множення та ділення на 10. Саме виходячи з результату множення будь-якого числа на 10 учні легко можуть перейти до результату множення цього числа на 9 (від наступного результату а ■ 10 відняти це число). А як відомо, найгірше засвоюється «нижня» частина таблиці множення.

На підставі конкретного змісту арифметичної дії множення школярі знаходять значення добутку числа 10 та іншого одноциф-рового числа. Наприклад, одержуємо наступні рівності:

Порівнюючи запис значення добутку та другий множник, встановлюємо, що в записі значення добутку спочатку записана така сама цифра, яка використана для запису другого множника, і ще цифра 0. З’ясовуємо, чому саме приписане число 0. Звертаємо увагу на запис першого множника — це число 10, у записі якого є один 0. Формулюємо висновок: щоб помножити 10 на будь-яке число, достатньо до цього числа приписати праворуч один 0.

Застосовуючи переставний закон множення, діти записують значення добутків:

Формулюємо відповідне правило:

Щоб число помножити на 10, достатньо до нього праворуч приписати один 0.

Звертаємо увагу дітей на те, що при множенні на 10 приписуємо праворуч один нуль, тому що в записі числа 10 є один 0. Пропонуємо учням здогадатися, скільки нулів слід приписати до числа при множенні на 100; на 1000. Чому?

10, 100, 1000 — це розрядні одиниці. При множенні на розрядну одиницю до числа слід праворуч приписати стільки нулів, скільки їх у розрядній одиниці!

Ділення на 10 вводиться через застосування взаємозв’язку між діями множення та ділення до добутків, у яких один із множників — число 10:

Учні підкреслюють рівності, у яких дільник число 10. Порівнюючи запис значення частки та запис діленого, вони помічають: щоб одержати частку, треба в записі діленого прикрити (забрати) один 0. Чому один 0? Тому що в записі дільника — числа 10 — є один 0. Формулюємо правило:

Для того щоб розділити число на 10, достатньо в його записі праворуч прибрати один 0.

Аналогічно, з метою випереджувального навчання діти висувають припущення щодо результату при діленні на 100 та на 1000. При діленні на розрядну одиницю треба в записі числа прикрити (забрати) стільки нулів, скільки їх у розрядній одиниці.

На етапі закріплення пропонуємо школярам знайти значення виразів на всі вивчені правила.

ДІЛЕННЯ НА РІВНІ ЧАСТИНИ

Ділення на рівні частини вводиться на підставі розв’язування пари взаємно обернених задач, перша з яких відомого дітям виду — ділення на вміщення, а друга нового — ділення на рівні частини.

Розв'яжіть задачі.

1) У Наталки 12 цукерок. Вона роздала ці цукерки подругам, по З цукерки кожній. Скільки подруг одержали цукерки?

Діти виконують схематичний рисунок, позначаючи кожну цукерку відрізком завдовжки 1 клітинка; роблять висновок, що подруг, які одержать цукерки, стільки, скільки в 12 цукерках міститься по 3 цукерки. Виконуємо відповідний короткий запис. З’ясовуємо, що задачу можна розв’язати двома способами: відніманням від 12 по 3, доки не одержимо 0, з наступним висновком або діленням (зазначимо, що на даному етапі навчання діти знаходять значення часток лише за допомогою конкретного змісту, замінюючи ділення відніманням однакових чисел). Оформлюємо розв’язання та записуємо відповідь.

2) У Наталки 12 цукерок. Вона роздала ці цукерки чотирьом подругам, порівну кожній. По скільки цукерок одержала кожна подруга?

Дію виконуємо практично або за допомогою рисунка:

Скільки потрібно взяти цукерок, щоб роздати кожній подрузі по одній цукерці? [Стільки, скільки подруг, тобто 4.] Беремо 4 цукерки, роздаємо кожній подрузі по 1 цукерці...

Чи всі цукерки ми роздали? [Ні.] Візьміть ще стільки цукерок, щоб роздати кожній подрузі по 1 цукерці.

Чи всі цукерки ми роздали? [Ні.] Візьміть ще стільки цукерок, щоб роздати кожній подрузі по 1 цукерці.

Чи всі цукерки ми роздали? [Так.] Скільки цукерок одержала перша подруга? [3] Скільки друга? [3] ... Скільки четверта? [3] Що можна сказати про кількість цукерок, що одержала кожна подруга? [Кожна подруга одержала цукерок порівну — по 3.]

Скільки всього було цукерок? [12] Скільки подруг одержали цукерки? [4 подруги.] Що можна сказати про кількість цукерок у кожної подруги? [У кожної подруги цукерок порівну. ] По скільки цукерок одержала кожна подруга? [По 3.]

Як записати розв’язання цієї задачі? Ми, як і в попередній задачі, роздавали цукерки... Роздали — поділили. Але як ми ділили цукерки в цій задачі? [Ми ділили порівну.] У цій задачі ми ділили не на вміщення, а на рівні частини.

Запишемо розв’язання: 12 : 4 = 3. Ми 12 цукерок ділили порівну на 4 частини і отримали по 3 цукерки в кожній частині.

Порівняйте ці задачі. Чим вони схожі? Чим відрізняються? [Схожі тим, що в обох задачах ділили 12 цукерок, але в задачі 1 ділили по 3 цукерки — на вміщення, а в задачі 2 — ділили порівну на 4 частини — на рівні частини. Обидві задачі на ділення, але вони відрізняються процесом ділення.]

Після цього пропонуємо учням порівняти опорні схеми задач на ділення на рівні частини і ділення на вміщення:

Відтепер діти розв’язують трійки взаємно обернених задач: на конкретний зміст дії множення, на ділення на вміщення та на ділення на рівні частини.

МЕТОДИКА СКЛАДАННЯ ТАБЛИЦЬ МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ

Таблиці множення можуть бути складеними за сталим першим чи сталим другим множником. При складанні таблиць за сталим першим множником в усіх випадках добуток замінюється сумою однакових доданків, кількість яких змінюється, а за сталим другим множником сума містить одне й те саме число двійок, трійок, або четвірок...

Традиційно таблиці множення складаються за сталим першим множником; таблиці починаються з множення певного числа на 2 і закінчуються множенням на 9. Але доцільніше розпочинати таблиці множення із добутку однакових чисел.

У 2 класі вивчаються всі таблиці множення та відповідні таблиці ділення; учні мають вільно використовувати знання таблиць множення і ділення на 2 і 3, а рештою таблиць можна користуватися в обчисленнях. А в 3 класі учні повинні вже володіти обчислювальною навичкою табличного множення та ділення.

Розглянемо можливі способи обчислення табличних результатів:

1) на підставі конкретного змісту дії множення:

2 • 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8;

2) на підставі переставного закону дії множення:

8 • 2 = 2 • 8=16;

3) на підставі попереднього значення:

2 • 7 = 2 • 6+2 = 12 + 2 = 14;

4) на підставі наступного значення:

2 • 7 = 2 • 8-2 = 16-2 = 14;

5) групування: 2 • 8 = 2 • 4 + 2 • 4 = 8 + 8 = 16;

6) послідовного множення: 3-4=3-2-2=6- 2 = 12. Розглянемо 1-5 способи складання таблиць на прикладі таблиці множення числа 3. Складаємо таблицю множення числа З на підставі конкретного змісту арифметичної дії множення:

Звертаємо увагу учнів на відмінність послідовних результатів: кожний наступний результат на 3 більший за попередній. Визначаємо причину: у кожному наступному добутку другий множник, що позначає кількість однакових доданків, на 1 більше попереднього; тому кожного разу додають на 3 більше, отже, і кожний наступний результат на 3 більший за попередній.

Тому можна не перераховувати кожний раз усю суму, а лише додавати цей доданок. Крім того, значення першого виразу можна не обчислювати, тому що ми його знаємо з таблиці множення числа 2, треба лише переставити множники.

Переставний закон множення у наступних таблицях застосовується для значно більшої кількості випадків — так, наприклад, майже всі результати таблиці множення числа 9 можна визначити, переставивши множники; а лише один (9-9) обчислити іншим способом.

Якщо в таблиці множення числа 3 кожний наступний результат більший за попередній на 3, то й навпаки, кожний попередній результат менший від наступного так само на 3. Можна відтворити результати таблиці множення числа 3, застосовуючи наступний результат. І тут допоможе випадок множення

чисел 3 і 10, тому що це наступний результат за результатом добутку 3 та 9.

Найбільш складною для запам’ятовування є нижня частина таблиці, але існує спосіб, який полегшує знаходження значень добутків нижньої частини таблиці — це спосіб групування.

Повертаємося до першого способу — на підставі конкретного змісту дії множення. Учні помічають, що однакові доданки можна по-різному групувати:

У цьому випадку в неявному вигляді застосовується розподільний закон множення відносно додавання. Між тим можна застосувати й спосіб, теоретичною основою якого є сполучний закон множення. Наприклад, у добутку 3 та 6, якщо його замінити сумою однакових доданків, бачимо дві пари трійок:

Справа в тому, що число 6 можна замінити добутком чисел З та 2: 3 • 6 = 3 • (3 • 2). Але числа можна множити у будь-якому порядку, тому маємо: 3 • 3 • 2 = 9 • 2 = 18.

Треба зазначити, що цей спосіб може бути застосований для обмеженої кількості випадків, тому що призводить до більш складних обчислень.

Учні мають не лише зрозуміти, як одержати результати таблиць множення, а й добре їх запам’ятати. Тому слід застосовувати

спеціальну систему навчальних завдань, яка спрямована на актуалізацію способів запам’ятовування табличних результатів.

1. Прочитайте результати таблиці множення по порядку. Що цікаве ви помітили? На скільки кожний наступний результат більший за попередній? Чому? Назвіть результати таблиці напам'ять по порядку від найменшого до найбільшого.

2. Розкажіть таблицю множення по порядку. Використовуючи переставний закон множення, назвіть, результати яких випадків множення вам ще відомі.

3. На скільки кожний наступний результат більший за попередній? Чому? Назвіть результати таблиці напам'ять від найбільшого до найменшого.

4. Розкажіть напам'ять таблицю множення від випадку множення на 9 до випадку множення на 2.

5. Які результати ви краще запам'яталися? Назвіть співзвучні.

(Виділяємо опорні випадки.)

6. Використовуючи знання наступного та попереднього значень, відтворіть певний табличний результат. Наприклад, якщо ви забули результат множення 6 • 7, то як ви це з'ясуєте? Назвіть різноманітні способи.

7. Установіть, яке число зайве: 6, 9, 12, 14, 15, 18, 21, 24, 27.

8. Продовжте ряд чисел: 8, 12, 16, ...

9. Замініть числа добутком двох чисел: 18, 16.

Також пропонуємо учням завдання на доведення того, що добуток двох чисел має певне значення. Наприклад: 3 • 6 = 18. Діти мають застосувати конкретний зміст дії множення, замінивши добуток сумою однакових доданків, і якщо при обчисленні цієї суми вони одержать 18, то це свідчитиме про те, що результат цього добутку знайдено правильно.

Корисними є застосування як карток із вправами на відтворення табличних результатів, так і «деформованих» вправ, у яких треба вписати або перший, або другий множник. Також для засвоєння табличних результатів пропонуємо завдання на порівняння математичних виразів:

На цьому етапі навчання діти вчаться знаходити значення виразів на кілька дій різного ступеня; вводяться правила порядку виконання дій (про це докладно при розгляді алгебраїчного матеріалу початкового курсу математики).

Таблиці ділення складаються на підставі взаємозв’язку між діями множення і ділення: якщо добуток двох чисел розділити на перший множник, то одержимо другий множник; якщо добуток двох чисел розділити на другий множник, то одержимо перший множник. Учні записують в зошитах таблицю множення на певне число, а потім їм пропонується скласти з рівностей на множення дві рівності на ділення. Для засвоєння табличного ділення пропонуємо учням для кожного окремого випадку міркувати так: 21:7 — це означає знайти таке число, яке в добутку з 7 дає 21; це число 3; тому 21 : 7 = 3, тому що 3 • 7 = 21.

Наприклад:

Ефективним засобом формування міцних навичок табличного множення та ділення є завдання на картках з друкованою основою, на яких слід записати результати вивчених випадків множення та ділення або один із компонентів.

Також на цьому етапі продовжуємо порівнювати математичні вирази, знаходити значення числових виразів на кілька дій різного ступеня; вводимо поняття про вирази зі змінною (буквені вирази) і пропонуємо учням знайти їх значення. Усі ці вправи сприяють засвоєнню таблиць множення та ділення на тривалий час.

ЗНАХОДЖЕННЯ НЕВІДОМОГО МНОЖНИКА, ДІЛЕНОГО АБО ДІЛЬНИКА

Правило знаходження невідомого множника. Актуалізуємо взаємозв’язок арифметичних дій додавання та віднімання, множення та ділення; визначаємо, що невідомий доданок знаходимо оберненою дією — відніманням, аналогічно, невідомий

множник — дією ділення. Щоб одержати перший доданок, треба від суми відняти другий доданок; аналогічно, щоб одержати перший множник, треба добуток поділити на другий множник. Так само робимо висновок щодо знаходження другого множника. Узагальнюємо ці правила.

Правила знаходження невідомого діленого або дільника

виводяться на підставі аналогії з правилами знаходження невідомого зменшуваного або від’ємника. Учні порівнюють арифметичні дії віднімання та ділення; визначають у них спільне (ділення можна замінити відніманням однакових чисел, доки не одержимо нуль; і при відніманні, і при діленні в результаті одержуємо менше число; і при відніманні, і при діленні компоненти називають по-різному — за характером дій, що відбуваються з числами:

Отже, зменшуване та ділене — «велике» число. Учні згадують, що велике число на першому ступені знаходять додаванням (тому зменшуване знаходить додаванням), а на другому ступені — множенням (тому ділене знаходять множенням). Формулюємо правило знаходження невідомого зменшуваного і за аналогією відтворюємо правило знаходження невідомого діленого.

З’ясовуємо, що від’ємник має бути менший або дорівнювати зменшуваному; так само дільник має бути меншим або дорівнювати діленому. Менше число на першому ступені знаходять дією віднімання, тому від’ємник знаходять відніманням; а на другому ступені менше число знаходять дією ділення, тому дільник знаходять діленням. За аналогією до правила знаходження невідомого від’ємника учні формулюють правило знаходження невідомого дільника.

ЦІ правила школярі мають формулювати та застосовувати при виконанні вправ на знаходження невідомого компонента арифметичних дій.

ЗБІЛЬШЕННЯ АБО ЗМЕНШЕННЯ ЧИСЛА В КІЛЬКА РАЗІВ. КРАТНЕ ПОРІВНЯННЯ

Відношення кратного порівняння вводиться на задачах відповідного виду. Для його засвоєння корисне паралельне порівняння різницевого та кратного відношень. Розглянемо зміст підготовчих завдань.

Пропонуємо учням покласти в рядок 3 квадрати, а нижче покласти стільки квадратів, щоб їх було на 2 більше, ніж у верхньому рядку. Учні визначають, що в нижньому рядку квадратів на 2 більше — стільки, скільки й у верхньому, та ще 2, стільки ж та ще 2 знаходять дією додавання; у верхньому рядку на 2 квадрати менше — стільки ж, але без 2; стільки ж, але без 2 знаходять дією віднімання.

Далі учні викладають у верхньому рядку 3 квадрати, а нижче під ними — два рази по 3 квадрати. З’ясовуємо, що в нижньому рядку квадратів більше, тому що поклали два рази по стільки, скільки й у верхньому рядку. Вчитель повідомляє, що в цьому випадку кажуть, що в нижньому рядку в 2 рази більше квадратів, ніж у верхньому. Визначаємо, де квадратів менше. У верхньому рядку лише один раз по 3 квадрати, а в нижньому — два рази по 3 квадрати, тому у верхньому рядку у 2 рази менше квадратів, ніж у нижньому. Учні доходять висновку: для того щоб стало у 2 рази більше, ніж 3, треба по 3 взяти 2 рази; для того щоб стало у 2 рази менше, ніж 6, треба 6 розділити на дві рівні частини.

Виконуємо практичні вправи типу: покладіть ліворуч 2 квадрати, а праворуч — у 4 рази більше. Що треба зробити, щоб покласти в 4 рази більше квадратів? [По 2 квадрати взяти 4 рази.] Якою дією можна обчислити, скільки квадратів треба покласти? [Скільки буде, якщо по 2 взяти 4 рази, можна дізнатися множенням.] Учні обчислюють і перевіряють перерахунком.

Покладіть у верхньому рядку 15 трикутників, а в нижньому — у 3 рази менше. Що слід зробити, щоб покласти в 3 рази менше, ніж 15 трикутників? [Треба 15 розділити порівну на 3.] Якою арифметичною дією можна обчислити, скільки трикутників треба покласти в нижньому рядку? [Дією ділення.] Обчислюємо та перевіряємо перерахунком.

Результати зіставлення збільшення або зменшення числа на кілька одиниць та в кілька разів можна подати у вигляді опорного конспекту.

Більше число знаходять або дією додавання, або дією множення. Додаванням знаходимо число, яке на кілька одиниць більше за дане, а множенням знаходимо число, яке в кілька разів більше даного числа.

Менше число знаходимо або відніманням, або діленням. Віднімаємо тоді, коли шукане число на кілька одиниць менше за дане, а ділимо тоді, коли шукане число в кілька разів менше певного числа.

На наступному етапі діти знаходять числа, які більші або менші за дане число в кілька разів. Причому для попередження вузьких узагальнень ці вправи пропонуються разом із вправами на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць.

Правило кратного порівняння так само, як і збільшення або зменшення числа в кілька разів, вводиться на підставі паралельного порівняння із різницевим порівнянням. Актуалізуємо правило різницевого порівняння (щоб дізнатися, на скільки одне число більше чи менше за інше число, треба від більшого числа відняти менше число), збільшення числа на кілька одиниць або в кілька разів, зменшення числа на кілька одиниць або в кілька разів.

Пропонуємо учням накреслити відрізок АВ завдовжки 2 см. Під ним накреслити відрізок МК завдовжки 10 см. З’ясовуємо, який відрізок довший. У скільки разів відрізок МК довший за відрізок АВ? Щоб про це дізнатися, треба підрахувати, скільки разів у довжині відрізка МК міститься по 2 см, що знайдемо арифметичною дією ділення. Отже, щоб дізнатися, у скільки разів одне число більше за інше, треба розділити більше число на менше.

Визначаємо, який відрізок має меншу довжину і в скільки разів. Довжина відрізка АВ у стільки разів менша за довжину відрізка МК, у скільки разів довжина відрізка МК більша за довжину відрізка АВ. Таким чином, щоб дізнатися, у скільки разів одне число менше за інше, треба більше число поділити на менше.

Зіставляємо правила різницевого та кратного порівняння і формулюємо узагальнене правило.

На цьому етапі корисні вправи, у яких треба дізнатися, на скільки одне число більше чи менше за інше та в скільки разів, тобто для однієї й тієї самої пари чисел (у тому числі й величин) ставляться два запитання.

Також діти розв’язують задачі, що містять відношення кратного порівняння: на збільшення або зменшення числа в кілька разів та на кратне порівняння; складають і розв’язують обернені задачі.

 

 

 

Це матеріал з посібника "Методика навчання математики у 1-2 класах" Скворцова, Онопрієнко

 



Попередня сторінка:  2.2.5. Додавання і віднімання чисел у меж...
Наступна сторінка:   3.1 Методика навчання розв'язування за...



^