Інформація про новину
  • Переглядів: 144
  • Дата: 10-06-2022, 22:19
10-06-2022, 22:19

19. Формула — це математична модель

Категорія: Природознавство





Попередня сторінка:  18. Фізичні моделі
Наступна сторінка:   20. Як зростає чисельність живих істот?

Чи підкорюється природа математичним законам?

Ймовірно, ви пам’ятаєте, що Земля є третьою планетою Сонячної системи. Ще п’ять планет, від Меркурія до Сатурна, були відомі з давнини, адже їх можна побачити на небі неозброєним оком. Тривалий час здавалося, що далі, ніж Сатурн, планет у Сонячній системі нема.

У XVIII ст. завдяки телескопу (див. 6-й тиждень) було відкрито планету Уран. Відкривач Урану не шукав його спеціально, він просто послідовно досліджував різні ділянки неба. Межі Сонячної системи, що були відомі людству, розсунулися! Астрономи почали вивчати Уран, і, звісно, передусім зацікавилися його рухом по своїй орбіті.

У першій половині XIX ст. астрономи навчилися дуже точно розраховувати рух небесних тіл. Закони руху, що були відкриті та втілені в математичні формули Ісааком Ньютоном (ми розповідали про нього на 4-му та 9-му тижні), дозволили розраховувати рух та розташування планет та їх супутників.

Утім, у русі планети Уран були помічені дивні особливості. Він рухався не так, як мав би за розрахунками вчених. Ви пам’ятаєте, що невідповідність між очікуваннями та спостережуваними фактами є першим кроком у роботі наукового методу? Можливо, на Уран

впливає якась нова, невідома на той час планета? Математики почали розрахунки... Першим розв’язав задачу французький математик Урбен Левер’є. У 1846 році він надіслав свої розрахунки німецькому астроному, який у першу ж ніч спостережень відкрив планету саме там, де її розташування передбачив Левер’є. Цю планету назвали Нептуном. Зараз ми вважаємо, що Нептун — найвіддаленіша від Сонця планета Сонячної системи.

Фантастичний успіх Левер’є став можливим саме тому, що прояви природи є закономірними, і ці закономірності можна описати математично.

Урбен Левер'є за розрахунками, які дозволили йому передбачити розташування невідомої планети, Нептуну. Коли йде мова про таку величезну роботу, працювати доводиться і вночі...

Що таке формула?

У нашому курсі ми розглядали дві математичні формули, що використовують у фізиці. Перша — це розрахунок швидкості (9-й тиждень):

v = S : t ,

де v — швидкість; S — шлях (відстань); t — час руху.

Друга — розрахунок густини (15-й тиждень):

р = m : V ,

де р — густина; m — маса; V — об’єм.

Що це? Це математичні моделі, що виражені у вигляді формул. Ці моделі символьні. Використовуючи латинські та грецькі букви, ми передаємо зв’язок між фізичними величинами: швидкістю, відстанню та часом або між густиною, масою та об’ємом. Цей зв’язок можна показати по-різному.

Розгляньте графік (графіком називають діаграму, що показує зв’язок між певними величинами).

Людина йде зі швидкістю 5 км за годину. Зв’язок між переміщенням людини та часом, за який воно відбувається, показано на графіку червоною лінією. Переконайтеся: відстані 5 км відповідає час 1 год! За вдвічі менший час людина пройде вдвічі меншу відстань. А скільки вона пройде за півтори години?

Червона лінія відповідає швидкості людини. Спробуйте: за її допомогою ми можемо встановити, за який час людина пройде певну відстань, або навпаки, яку відстань вона пройде за певний час. Хіба не дивно, що це можна показати однією лінією на графіку?

А як відобразити на цьому графіку зв’язок між відстанню та часом переміщення для об’єктів, що рушать з іншою швидкістю? Їм будуть відповідати інші лінії.

Як показати густину на графіку?

Наступний графік показує густину різних речовин. Що має більшу масу при однаковому об’ємі: каміння (наприклад, граніт), чи залізні речі (наприклад, сталеві, зроблені зі сплаву на основі заліза)? Роздивіться: 1 л (1 кубічний дециметр) граніту важить 2,6 кг, а такий самий об’єм сталі — 7,9 кг, набагато більше!

На цьому графіку певну густину показано точкою. Якби ми вказали маси для різних об’ємів кожної з наведених речовин, ці залежності утворили б прямі, як на попередньому графіку.

А на цьому графіку показана густина різних речовин, і відбита залежність Р = m : V

Можливість подати результати наукових досліджень у вигляді формул є сильною стороною науки. Іноді проста формула може відбити цілу наукову революцію.

Так, одним з найбільших досягнень людства є теорія відносності Альберта Ейнштейна (ми згадували його на 4-му тижні). Детальніше ви зрозумієте її пізніше, але дещо розповімо вже зараз. Завдяки дослідженням, яка крім іншого, включали роботу з формулами, Ейнштейн зрозумів, що маса та енергія можуть перетворюватися одна на іншу. Формула Ейнштейна Е=тс2 (Е — енергія, т — маса, с — швидкість світла) виразила це відкриття. Можливість перетворити масу на енергію, наприклад, використана під час створення атомної бомби.

Що є причиною, а що наслідком? На ілюстрації показана формула Ейнштейна та її автор (це не справжня фотографія, а колаж — поєднання фотографії вченого та запису його формули). Ядерний вибух — результат використання нових принципів. До речі, Ейнштейн, праця якого зіграла велику роль у створенні ядерної зброї, закликав відмовитися від її використання...

Головні думки

Природні явища є закономірними. Ці закономірності можна описувати математично.

Прикладом вдалого використання математики для опису природних явищ стало відкриття планети Нептун в середині дев’ятнадцятого століття.

Той самий зв’язок між фізичними величинами, можна відбити різними способами — у вигляді словесного опису, математичної формули, графіка тощо.

Практична частина

Чим велике відрізняється від маленького?

Ви знаєте, що фізичні тіла від- ^^■w різняються не лише за формою,

матеріалом та властивостями, а й за •

розміром. •

Цікаво, що змінюється у разі, ^ - '

припустимо, зміни розмірів певного

тіла зі збереженням співвідношення ■ v ~V^

Показані на ілюстрації кружки Ш,

однакові чи ні? Однакові, якщо не II І Мі

враховувати розмір, але різні за роз- ЯР . ^___

МІрОМ. Чому ЦІ КруЖКИ ОСТИГаЮТЬ? I

Гаряча вода віддає своє тепло через " ' ......

ПоВерХНю. Припустіть, у якій із цих кружок

Що більше тепла в окропі, то окріп вистигне швидшеЧому? повільніше остигає кружка. Що

більша поверхня, через яку втрачається тепло, то швидше вистигає кружка.

Як відрізняється об’єм та площа поверхні у великої та малої кружки? Установимо це на простішому для розрахунків прикладі. Розглянемо два кубики: маленький і великий. Припустимо, що довжина їхньої грані відрізняється в два рази.

Яка площа поверхні маленького кубика? У нього 6 сторін (3 ми бачимо на рисунку, ще 3 приховані від нас), і в кожної з них площа дорівнює одній квадратній одиниці. Об’єм маленького кубика,

звісно, — одна кубічна одиниця. Кожна сторона великого кубика має площу 4 квадратні одиниці, усього — 24. Об’єм збільшився у 8 разів. Зрозуміло, чому?

Найцікавіше для нас — визначити, як змінилося відношення площі поверхні до об’єму. Як ви бачите, у меншого кубика воно вдвічі більше, ніж у більшого. Те саме можна пояснити навіть без розрахунків. Придивіться: у першому випадку в одиничного кубика всі сторони межують із зовнішнім середовищем, а у другому випадку в кожного такого ж за розміром кубика 3 сторони «дивляться» назовні, а 3 — всередину.

Зі збільшенням розміру тіла відношення площі поверхні до об’єму у нього зменшується. Те ж саме відбувається і з чашками окропу. Менша кружка має більшу відносну поверхню і швидше втрачає тепло.

Ми використовували моделювання під час нашого міркування? Де? Як?

Опануйте поняття

Формула Математична модель

Відносна поверхня

Питання для закріплення матеріалу

1. Яка із наведених моделей є математичною? А курник на карті позначений

Б курка біжить зі швидкістю 5 км/год В визначення швидкості руху курки — v = S : t Г курка має крила, які інколи використовує для польоту

2. З якою швидкістю рушить черепаха, що зображена на рисунку в теоретичній частині матеріалів цього тижня??

А 1 км/год Б 1,5 км/год В 3 км/год Г 5 км/год

3. За допомогою рисунку встановіть, якою є густина соснової дошки. Які розрахунки вам довелося виконати, щоб відповісти на це питання?

4. Поміркуйте, чи є зараз необхідність використання розрахунків для визначення розташування та руху небесних тіл? Наведіть приклад.

5. Як розмір об’єкта буде впливати на його нагрівання? Чому?

Теми для обговорення і виконання

Обґрунтуйте, на яких навчальних предметах ви використовуєте формули. Що допомагає описувати такий спосіб моделювання?

Сьогодні кількість небесних тіл у складі Сонячної системи, які вважають планетами, дорівнює восьми. Як ви вважаєте, чи зміниться їх кількість з часом? Чому?

Доля Плутона та Вулкана

Ми розповіли, як було відкрито планету Нептун. Як не дивно, з часом подібна історія повторилася. Розрахунки руху Нептуну показали, що на нього впливає тяжіння ще якогось небесного тіла. У 1930 р. вдалося відкрити Плутон, який тоді вважали ще однією, дев’ятою планетою Сонячної системи. Він виявився зовсім невеликим. Утім з часом астрономи знайшли кілька об’єктів, що були подібними до Плутона, і вирішили, що він — не справжня планета, а карликова.

З Вулканом відбулася ще дивніша історія. Ім’я це планета отримала, але, як виявилося, її не існувало.

У середині XIX ст., після того, як Урбен Левер’є знайшов Нептун за відхиленнями орбіти Урана, він узявся за дослідження відхилень орбіти Меркурія, найближчої до Сонця планети. Меркурій також рухається не в повній відповідності до законів Ньютона.

Левер’є розрахував, що ці відхилення могла б зумовлювати планета, яку, ще до її відкриття, назвали Вулканом. Попри тривалі пошуки, знайти цю планету не вдалося. Пояснення особливостей орбіти Меркурія було одержано завдяки теорії відносності, яку запропонував у 1916 р. Альберт Ейнштейн. Річ у тім, що величезне Сонце суттєво викривлює простір поруч із собою, а це зумовлює такі особливості орбіти Меркурія, які неможливо передбачити на підставі законів Ньютона.

 

 

Це матеріал з підручника "Пізнаємо природу" 5 клас Кравченко, Шабанов

 




Попередня сторінка:  18. Фізичні моделі
Наступна сторінка:   20. Як зростає чисельність живих істот?



^