Рівняння рівномірного прямолінійного руху. Пригадаймо означення прямолінійного рівномірного руху, що відоме вам з 9 класу.

Прямолінійний рівномірний рух — це рух, під час якого тіло (матеріальна точка) за будь-які рівні інтервали часу здійснює однакові переміщення.

Траєкторія такого руху — пряма лінія.

Швидкість рівномірного руху тіла ϋ — векторна фізична величина, що дорівнює переміщенню s, здійсненому тілом за одиницю часу.

Одиниця швидкості в СІ — метр за секунду:

Вектор швидкості

у випадку рівномірного прямолінійного руху напрямлений так само, як і вектор s.

Визначаючи швидкість рівномірного руху v , переміщення s (або приріст радіуса-вектора Δτ ) можна вибрати довільним і ділити на інтервал

часу Δt, протягом якого відбулося це переміщення:

Час

найчастіше рахують від початкового моменту t₀ = 0 , тоді Δt = t - t₀ = t, а векторні величини, що характеризують рух тіла, записують у проекціях

на відповідну вісь, отже, для рівномірного прямолінійного руху

Знаючи проекцію швидкості руху тіла, можна визначити проекцію його переміщення за будь-який інтервал часу: s_x = vt. Оскільки рівномірний рух є рухом зі сталою швидкістю (v = const), то пройдений шлях прямо пропорційний часові.

З малюнка 6 видно, що числове значення проекції вектора переміщення на координатну вісь Х дорівнює зміні координат тіла x - x₀, тобто s_x = x - x₀. Застосовуючи останні формули, отримаємо кінематичне рівняння рівномірного прямолінійного руху:

Якщо напрямок руху збігається з напрямком координатної осі, то v_x > 0, v_x = v, і координата з плином часу збільшується: x = x₀ + vt, де v — модуль швидкості. Якщо напрямок руху тіла протилежний напрямку координатної осі, то v_x < 0, v_x = -v, і координата з плином часу зменшується: x = x₀ - vt.

За допомогою отриманого рівняння руху ми можемо визначити положення (координату) тіла в будь-який момент часу. Отже, основна задача механіки для рівномірного прямолінійного руху розв’язана.

Графічне зображення прямолінійного рівномірного руху. Оскільки швидкість тіла під час рівномірного прямолінійного руху із часом не змінюється, тобто v = const, тому графік модуля швидкості — це пряма, паралельна осі часу t й розміщена над нею, оскільки модуль швидкості завжди додатний (мал. 7).

Графічна залежність проекції швидкості від часу (мал. 8) відрізняється від попереднього графіка тим, що лінія v_x = v_x(t) може розташовуватися як над віссю t, за умови v_x > 0, так і під нею, за умови v_x < 0.

Площі зафарбованих прямокутників дорівнюють значенням проекцій переміщень за певний час.

Графіком проекції переміщення s_x = s_x(t) є пряма (порівняйте з відомим вам графіком лінійної функції y = ax). Оскільки проекція

переміщення може набувати як додатних, так і від’ємних значень, то графік проекції переміщення (мал. 9) може бути розташований у І чверті координатної площини (s_x > 0, відповідно і v_x > 0) або в IV чверті (s_x < 0, v_x < 0).

За графіками проекції переміщення можна порівняти значення швидкостей рухомих тіл.

Графік шляху l = l(t). Оскільки під час рівномірного прямолінійного руху модуль переміщення дорівнює довжині пройденого шляху, то l = vt. Модуль швидкості завжди величина додатна, і графік шляху завжди напрямлений вгору (мал. 10).

Графік координати тіла x = x(t) характеризує зміну координат тіла із часом.

Нерівномірний рух. У реальному житті найчастіше ми маємо справу з нерівномірним рухом — рухом, під час якого тіло за однакові інтервали часу здійснює різні переміщення.

Для опису нерівномірного руху користуються поняттями середньої та миттєвої швидкостей. Причому середня швидкість нерівномірного руху має подвійне тлумачення: як середня швидкість переміщення і як середня швидкість проходження шляху. 1) Середня швидкість переміщення — векторна величина, що визначається відношенням переміщення до інтервалу часу, протягом якого відбулося це

переміщення:

перемі

щення тіла за відповідні інтервали часу Δ^, Δ^, ... , Δ^.

2) Середня швидкість проходження шляху — скалярна величина, що визначається відношенням пройденого шляху до інтервалу часу, за

який цей шлях пройдено:

ділянки шляху, пройдені за відповідні інтервали часу Δ^, Δ^, ... , Δ^.

Причому значення цих швидкостей може бути різним. Наприклад, якщо траєкторія руху криволінійна, пройдений шлях завжди більший за переміщення.

Середня швидкість характеризує рух тіла на певній ділянці траєкторії за весь час руху, але не дає інформації про рух тіла в певній точці траєкторії (у певний момент часу).

Особливістю механічного руху є його неперервність, тобто ані координати тіла, ані його швидкість руху не можуть змінюватися стрибками. Тому для характеристики нерівномірного руху застосовують поняття миттєвої швидкості.

Щоб визначити миттєву швидкість, треба зменшувати інтервал часу, за який здійснюється переміщення. Що меншим буде цей інтервал, то менше переміщення здійснюватиме тіло. Коли швидкість визначатиметься за досить короткий інтервал часу Δt ^ 0 і переміщення буде малим

(наближається до точки

прямує до деякого граничного значення, тобто швидкість практично не змінюватиметься ні за значенням, ні за напрямком.

Граничне значення (границя), до якого прямує дріб

називають миттєвою швидкістю в певній точці або в певний момент часу. Математично це записується так:

Вираз lim означає «границя», а вираз Δt ^ 0, зображений під ним, показує, за якої умови ця границя отримана.

Миттєва швидкість збігається з напрямком того малого переміщення, яке здійснює тіло за досить короткий інтервал часу.

Саме миттєву швидкість показує спідометр автомобіля.

Надалі, говорячи про швидкість нерівномірного руху, ми матимемо на увазі саме миттєву швидкість. Про миттєву швидкість можна говорити й у випадку рівномірного руху. Миттєва швидкість рівномірного руху в будь-якій точці й у будь-який час є однаковою. Миттєва швидкість нерівномірного руху в різних точках траєкторії й у різні моменти часу — різна.

МАТЕМАТИЧНА ДОВІДКА

Фізичний зміст похідної. Миттєва швидкість визначає механічний (фізичний) зміст похідної.

Похідна — основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається похідна як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Нехай в деякому

околі точки x₀ визначена функція f. Тобто якщо існує границя

то вона називається похідною функції f у точці x₀. Похідна позначається як f'(x), що вимовляється «еф-штрих від ікс».

З означення миттєвої швидкості видно, що вона дорівнює похідній вектора переміщення s за часом t. У цьому й полягає фізичний (механічний) зміст похідної: похідна від переміщення s' за часом дорівнює значенню миттєвої швидкості в цей момент часу t₀:

Оскільки переміщення точки у просторі можна розглядати як одночасну зміну всіх його координат, то можна визначати миттєву швидкість точки в напрямку відповідної осі:

Наведемо похідні деяких функцій, які ми використовуватимемо під час вивчення механіки:

це випадок складеної функції (або функції від функції), яка містить дві змінні cos і t. У цьому випадку спочатку обчислюємо похідну від зовнішньої функції

ЗНАЮ, вмію, розумію

1. Чи можна визначити кінцеве положення тіла, якщо відоме його початкове положення та довжина пройденого шляху?

2. Графік руху перетинає вісь часу. Що це означає?

3. Чи можуть зменшуватись із часом координата рухомої точки та пройдений шлях?

4. Навіщо вводять поняття середньої та миттєвої швидкостей? Коли застосовують кожне з них для опису руху? Миттєва швидкість — це диференціальна чи інтегральна характеристика руху?

5. Чи може не дорівнювати нулю середня швидкість переміщення матеріальної точки впродовж деякого інтервалу часу, якщо впродовж більш тривалого часу вона дорівнює нулю?

6. Чи може тіло набувати різних значень шляхової швидкості, якщо при цьому його швидкість переміщення має постійні значення?

ВПРАВА 2

1. Швидкість тіла під час руху по прямій з пункту А в пункт В у два рази більша за швидкість руху цього тіла у зворотному напрямку. Побудуйте графіки залежності від часу: а) координати; б) швидкості; в) шляху.

2. З двох точок А і В, віддалених на відстань 90 м одна від одної, одночасно в одному напрямку почали рухатися два тіла. Перше тіло, що рухається з точки А, має швидкість

Друге тіло, що рухається з точки В, має швидкість

Через який час

перше тіло наздожене друге? Яке переміщення здійснить кожне тіло? Розв’яжіть задачу аналітичним і графічним способами.

3. На малюнку 11 наведено графіки руху чотирьох тіл уздовж осі Х. Що спільного в усіх цих рухів? Чим вони відрізняються? Накресліть схематичні графіки v_x(t) для кожного з рухів.

4. За наведеними на малюнку 12 графіками опишіть рух. Для кожного з них визначте модуль і напрямок швидкості, запишіть формулу x(t).

5. Рівняння руху вантажного автомобіля має вигляд x₁ = -270 + 12t, а рівняння руху пішохода, який іде узбіччям того самого шосе, має вигляд x₂ = -1,5t. Накресліть графіки руху й визначте: а) положення автомобіля та пішохода в момент початку спостереження; б) з якими швидкостями і в якому напрямку вони рухалися; в) коли й де вони зустрілися?

6. Автомобіль, швидкість якого

обганяє

автобус, що має швидкість

Яку відстань пройшов автомобіль за час обгону, якщо він розпочав його на відстані s₁ = 50 м від автобуса й завершив на відстані s₁ = 50 м попереду автобуса.

7. За графіком залежності координати від часу (мал. 13) побудуйте графік залежності швидкості від часу.

8. На малюнку 14 (а і б), що на сторінці 17, наведено графіки, які характеризують рух пішохода. Побудуйте на їх основі графік залежності v_x(t).

9. Потяг першу половину шляху рухався зі швидкістю в n = 1,5 раза більшою, ніж під час подолання другої половини шляху. Середня швидкість руху потяга на всьому

шляху була

Які швидкості руху потяга на першій і другій половинах шляху?

10. Квадроцикл проїхав половину шляху зі швидкістю

Половину часу, який зали

шився, він їхав зі швидкістю

а решту — зі швидкістю

Визначте серед

ню швидкість руху квадроцикла на всьому шляху.

11. Рух матеріальної точки задано рівнянням

Визначте швидкість точки в моменти часу t₁ = 2 c та t₂ = 4 c, а також се

редню швидкість протягом інтервалу часу від t₁ до t₂. Розв’язуючи задачу, скористайтесь поняттям похідної.

Експериментуємо

1. Дослідіть характер руху бульбашки повітря в скляній трубці, наповненій водою.

2. Визначте модуль швидкості вашого руху на велосипеді, маючи тільки шкільну лінійку. Примітка: вважати, що на проголошення двоцифрового числа (наприклад, 21) затрачується 1 секунда.

 

Це матеріал з підручника Фізика і астрономія за 10 клас Засєкіна (профільний рівень)