Закони додавання переміщень і швидкостей. Для розв’язування задач кінематики систему відліку вибирають так, щоб рух відносно цієї системи описувався найпростішими виразами. Оскільки тіло відліку можна вибирати довільно і таких тіл може бути безліч, то й рух тіла можна одночасно розглядати в кількох системах відліку.

У разі розгляду руху в різних системах відліку його характеристики (траєкторія, швидкість, переміщення, пройдений шлях) змінюються.

Величини, які залежать від вибору системи відліку, в якій здійснюються вимірювання називають відносними. Нехай маємо дві системи відліку (мал. 15). Систему XY, що умовно можна вважати нерухомою (наприклад, пов’язаною із Землею), і систему ΧΎ' , що рухається відносно системи XY зі швидкістю v₀ (наприклад, пов’язаною із платформою, що рухається по рельсах). Якщо людина, що перебуває на рухомій платформі здійснить переміщення Sj (наприклад, із точки А в точку Б), і сама платформа за цей час переміститься відносно Землі на s₂, то з малюнку видно, що переміщення людини відносно Землі S є вектор, що дорівнює сумі векторів Sj і S₂.

Тепер можна сформулювати закон додавання переміщень:

переміщення тіла і у нерухомій системі відліку дорівнює векторній сумі переміщення Sj тіла в рухомій системі відліку й переміщення рухомої системи відліку s₂ відносно нерухомої:

Поділивши обидві частини рівняння

на час руху тіла

матимемо закон додавання швидкостей.

Класичний закон додавання швидкостей¹: швидкість тіла відносно системи, яку вважають нерухомою V , дорівнює векторній сумі швидкості тіла в рухомій системі відліку v₁ й швидкості самої рухомої системи відліку V₂:

Отже, швидкість руху тіла також є величиною відносною, що залежить від вибору системи відліку.

МАТЕМАТИЧНА ДОВІДКА

Правила додавання й віднімання векторів. Два вектори а і b паралельним перенесенням розміщують так, щоб вони виходили з однієї точки. Вважаючи, що ці вектори є сторонами паралелограма, необхідно добудувати паралелограм. Тоді діагональ паралелограма AD, яка виходить з точки, де починаються вектори, і є сумою векторів.

Числове значення сумарного вектора визначається формулою ¹

¹ Закон має назву класичний, тому що виконується для тіл, швидкості руху яких набагато менші від швидкості світла.

Різницею векторів а і b є вектор BC , проведений з кінця від’ємника b до кінця зменшуваного а.

Числове значення різниці векторів визначається формулою

Як і у випадку дійсних чисел, віднімання векторів можна звести до їх додавання, тобто різницю векторів а і b можна визначити як суму вектора а з вектором (-b) (який за модулем дорівнює вектору b, але протилежний йому за напрямком), отже c = а - b = а + (-b).У випадку взаємно перпендикулярних векторів а і b числові значення суми та різниці однакові (гіпотенуза прямокутного трикутника). Сумарний вектор і вектор різниці відрізняються напрямками.

Розглянемо приклад. Нехай два тіла рухаються зі швидкостями v₁ і v₂ відповідно, і потрібно визначити швидкість руху другого тіла відносно першого у випадку, коли тіла рухаються в одному напрямку й назустріч одне одному.

Ми переконалися, що говорити про переміщення чи швидкості без зазначення системи відліку немає сенсу.

В умові ж задачі вказано, що два тіла рухаються зі швидкостями v₁ і v₂ відповідно. У такому випадку цілком зрозуміло, що вказані швидкості v₁ і v₂ — це швидкості руху тіл відносно землі (у нерухомій системі відліку K).

Пов’яжемо рухому систему відліку K' з другим тілом, що рухається відносно землі зі швидкістю v₂ (мал. 17).

Тоді класичний закон додавання швидкостей набуває вигляду: v₁ = v₂ + ΰ', де v₁ — швидкість першого тіла відносно землі, ΰ' — швидкість другого тіла відносно першого. Якщо тіла рухаються в одному напрямку, то у проекціях на вісь Х закон записується у вигляді v₁ = v₂ + ϋ. Звідки v' = v₁ - v₂. У випадку, коли тіла рухаються назустріч одне одному, проекція швидкості руху другого тіла буде від’ємною, v₁ = -v₂ + v', звідки ϋ = v - (-V2) = v + ϋ2.

Ми переконалися, що будь-який складний рух можна подати як суму простих незалежних рухів. У цьому полягає суть принципу незалежних рухів: якщо тіло одночасно бере участь у декількох рухах, то кожний із рухів відбувається незалежно від інших.

Перетворення Галілея. Розглянемо рух тіла, наприклад катера по річці, відносно різних систем відліку — нерухомої K , пов’язаної із землею, і рухомої K', пов’язаної з течією річки (мал. 18).

Вважаємо, що швидкість течії (рухомої системи відліку) ϋ є постійною.

Системи координат вибирають так, щоб осі X та X' збігалися, а в момент часу t₀ = 0 збігалися й осі Y та Y'. Вважаємо, що годинники в обох системах відліку йдуть однаково.

Мал. 18. Рух тіла відносно рухомої та нерухомої систем відліку

За час t катер змістився відносно землі (нерухомої системи відліку) на відстань І, за той самий час течія річки (рухома система відліку) здійснила переміщення l₀. Тоді переміщення Г катера відносно рухомої системи відліку дорівнює l' = l - l₀ або l = l₀ + l'.

Таким чином, у будь-який момент часу координати тіла (у нашому випадку катера) у системі K та K' пов’язані співвідношеннями у = у', x = x₀ + x', де χ₀ — координата початку відліку системи координат K у даний момент часу t.

Оскільки швидкість течії (рухомої системи координат) — v, то переміщення, яке вона здійснює за час t, визначається формулою l₀ = vt, отже, співвідношення для координат набувають вигляду x = vt + x', у = у', t = t'.

Співвідношення х = vt + х', у = у', t = t' називають перетвореннями Галілея.

Координати тіла залежать від системи відліку, тобто є величинами відносними.

Рівність t = t' виражає абсолютний характер часу, тобто час є величиною інваріантною (незмінною).

Зверніть увагу! Вкажемо на деяке припущення, яке ми застосували, щоб отримати співвідношення Галілея. У наших розрахунках ми вважали, що t = t' (користувались одним часом) і всі відстані вимірювали одним і тим самим масштабом. Тобто, ми вважали, що в нерухомій і рухомій системах відліку годинники відраховують один і той самий час, а відстані вимірюються з однаковим масштабом. Це припущення виконується лише для руху тіл, швидкості яких малі порівняно зі швидкістю

світла

швидкість світла у вакуумі). Для рухів зі

швидкостями, близькими до швидкості світла, перетворення Галілея набувають іншого вигляду. Про це ви детально дізнаєтеся, вивчаючи положення спеціальної теорії відносності (§ 19).

З перетворень Галілея також випливає один важливий висновок: у всіх системах відліку, які рухаються рівномірно і прямолінійно одна відносно одної, прискорення тіла залишається незмінним (інваріантним).

Про відносний рух у масштабах Всесвіту читайте в § 41, 44.

ЗНАЮ, вмію, розумію

1. У чому суть відносності руху?

2. Чим відрізняються такі поняття, як «відносна швидкість двох тіл» і «швидкість одне го тіла відносно іншого»?

3. Швидкість першого тіла відносно другого дорівнює v_{1 2}; швидкість другого тіла від носно третього — v₂₃. Визначте швидкість першого тіла відносно третього. Зробіт висновок про те, як чергуються індекси у правилі додавання.

Приклади розв'язування задач

Задача. Пліт пропливає біля пункту А в той момент, коли від нього відправляється вниз за течією річки до пункту В моторний човен. Відстань між пунктами 15 км човен проплив за 0,75 год і повернув назад. Повертаючись у пункт А, човен зустрів пліт на відстані 9 км від пункту В. Визначте швидкість течії u та швидкість човна відносно води v.

Розв’язання:

Розв’язання цієї задачі буде набагато простішим, якщо систему відліку пов’язати з плотом. У такій системі пліт і вода в річці нерухомі. Це означає, що відносно плоту моторний човен рухається до пункту В й у зворотному напрямку з однаковою швидкістю.

Час руху човна у прямому та зворотному напрямках — 2ί, відстань, яку він при цьому пройшов: s = s₁ + s₂. Швидкість човна відносно води:

ВПРАВА 3

1. Швидкість гіроскутера

а швидкість зустрічного вітру

Яка швид

кість вітру в системі відліку, пов’язаній з гіроскутером? 2. Ескалатор у метро рухається зі швидкістю

За який час людина перемістить

ся на 40 м відносно Землі, коли вона йде в напрямку руху ескалатора зі швидкістю

у системі відліку, пов’язаній з ескалатором?

3. Швидкість руху човна відносно води в n разів більша, ніж швидкість течії річки. У скільки разів довше пливе човен між двома пунктами проти течії, ніж за течією? Розв’яжіть задачу для значень n = 2 і n = 11.

4. На моторному човні, що має в системі відліку, пов’язаній з водою, швидкість

потрібно переправитися через річку найкоротшим шляхом. Який курс

відносно берега треба тримати під час переправи, якщо швидкість течії річки становить

5. Людина у потязі, що рухається зі швидкістю

бачить протягом 60 с сусідній

потяг завдовжки 600 м, який рухається паралельно першому в одному напрямку. Визначте: а) з якою швидкістю рухається другий потяг і скільки часу людина у другому потязі бачить перший потяг завдовжки 900 м; б) час, протягом якого люди у кожному з потягів бачать проходження сусіднього потяга, за умови, що потяги рухаються назустріч один одному.

6. Між двома пунктами, розташованими на річці на відстані 100 км один від одного, курсує катер. Катер проходить цю відстань за течією за 4 год, а проти течії — за 10 год. Визначте швидкість течії річки і швидкість катера відносно води.

7. Рибалка плив човном уверх по річці. Пропливаючи під мостом, він упустив рятувальний круг. Через годину рибалка помітив пропажу і, повернувши назад, наздогнав круг за 6 км нижче від мосту. Яка швидкість течії річки, якщо відносно води човен рухався вверх і вниз по річці з однаковою швидкістю?

8. Вагон завширшки 2,4 м, що рухався зі швидкістю

пробила куля, яка летіла

перпендикулярно до руху вагона. Зміщення отворів у стінках вагона один відносно одного дорівнює 6 см. Яка швидкість кулі?

9. Відносно системи K' рівняння руху матеріальної точки має вигляд x' = 4t + 5; у' = 0; z = 0. Який вигляд має рівняння руху матеріальної точки відносно системи K, якщо: а) система K' нерухома відносно системи K, а її початок має координати (3; 0; 0); б) система K' рухається відносно системи K рівномірно і прямолінійно вздовж осі Х зі швидкістю

і в початковий момент руху початки координат

й осі систем K' і K збігалися; в) система K' рухається відносно системи K рівномірно і прямолінійно вздовж

осі Y зі швидкістю

і в початковий момент руху початки координат та осі систем K' і K збігалися?

10. Два стержні перетинаються під кутом 2α і рухаються з однаковими швидкостями v перпендикулярно до самих себе (мал. 19). Якою є швидкість руху точки перетину стержнів?

 

 

Це матеріал з підручника Фізика і астрономія за 10 клас Засєкіна (профільний рівень)