Переміщення і швидкість у криволінійному русі. У рівномірному прямолінійному русі вектор швидкості не змінюється ні за модулем, ні за напрямком V = const. У рівноприскореному прямолінійному русі вектор швидкості зберігає напрямок, але змінюється за модулем. Вектори швидкості V і переміщення s під час прямолінійного руху напрямлені в один бік.

Як напрямлені вектори швидкості V і переміщення s у криволінійному русі?

Нехай протягом певного інтервалу часу тіло рухається криволінійною траєкторією від точки А до точки В (мал. 30). Пройдений тілом шлях — це довжина дуги ^-AB, а переміщення — це вектор, напрямлений уздовж хорди AB .

Якщо розглядати рух за коротші інтервали часу, то можна дійти висновку, що миттєва швидкість тіла в точці траєкторії напрямлена по дотичній до дуги в даній точці.

У тому, що миттєва швидкість напрямлена по дотичній, можна переконатися, спостерігаючи, як відлітають частки багнюки від коліс автомобіля, що забуксував.

Миттєва швидкість тіла в різних точках криволінійної траєкторії має різний напрямок. За модулем ця швидкість може бути однаковою в усіх точках, а може й змінюватись. Навіть коли за модулем швидкість не змінюється, її не можна вважати сталою, адже швидкість — величина векторна. А для векторної величини модуль і напрямок однаково важливі. Тому криволінійний рух — це завжди рух із прискоренням. Якщо модуль швидкості не змінюється, прискорення криволінійного руху пов’язане зі зміною напрямку швидкості.

Зважаючи на те, що будь-яку криволінійну траєкторію можна розглядати як частину кола певного радіуса, цю особливість криволінійного руху можна використати для моделювання його траєкторії (мал. 31).

Основні характеристики рівномірного руху по колу. Обертальний рух досить поширений у природі й техніці (мал. 32, с. 32) — це обертання коліс, маховиків, лопатей літальних апаратів, Землі навколо своєї осі та ін.

Важливою особливістю обертального руху є те, що всі точки тіла рухаються з однаковим періодом, але їх швидкість може суттєво відрізнятися, бо всі вони рухаються по колах із різним радіусом. Наприклад, при добовому обертанні Землі навколо своєї осі точки, що розташовані на екваторі, рухаються найшвидше, тому що їх рух відбувається по найбільшому радіусу.

Зверніть увагу! Вивчення обертального руху тіла ми розпочнемо з розгляду руху окремих точок на його поверхні (обертальний рух тіла як цілого розглянемо в подальшому).

Розглянемо випадок рівномірного руху матеріальної точки по колу.

Рівномірний рух по колу — це рух зі сталою за модулем швидкістю і з прискоренням, зумовленим зміною напрямку швидкості. Цю швидкість прийнято називати лінійною швидкістю.

Нехай тіло рухається по колу радіусом r, і в деякий момент часу, який ми приймемо за початок відліку (t₀ = 0), воно перебуває в точці А (мал. 33).

Лінійна швидкість V₀ в цій точці напрямлена по дотичній. Через деякий малий інтервал часу t тіло буде в точці В. Вважатимемо, що інтервал часу настільки малий, що дуга ^-AB збігається з хордою АВ (на малюнку для наочності точки віддалені). У точці В тіло матиме лінійну швидкість V (яка за модулем не змінилась, v₀=v, змінився лише її напрямок). Знайдемо різницю векторів v₀ і V за правилом віднімання векторів. Для цього перенесемо вектор V паралельно самому собі так, щоб він і вектор V₀ виходили з точки А. Тоді вектор Δν, проведений від кінця вектора V₀ до кінця вектора V, є їх різницею.

З малюнка 33 видно, що вектор Δν напрямлено майже до центра кола. І якщо точки А і В дуже близькі, то вектор Δν направлено точно до центра кола. Такий напрямок має і прискорення, яке називають доцентровим а_д.

Як відомо з курсу геометрії, дотична, проведена в певній точці кола, є перпендикулярною до радіуса, проведеного в цю точку. Отже, вектор доцентрового прискорення а_д в кожній точці кола перпендикулярний до вектора лінійної швидкості V.

З’ясуємо, від чого залежить модуль доцентрового прискорення. Розглянемо трикутник, утворений векторами v₀, v та Δν (мал. 33). Він рівно-бедрений, оскільки рівні модулі v₀ = v. Трикутник ОАВ — також рівно-бедрений. Ці трикутники подібні, як рівнобедрені і з рівними кутами при

вершині. З подібності трикутників випливає

Як згадувалось вище, мала хорда АВ збігається з дугою

довжина

якої є пройденим тілом шляхом з постійною за модулем лінійною швидкістю протягом часу t. Отже,

Оскільки

модуль прискорення, доцентрове прискорення дорівнює

Доцентрове прискорення, а_д — прискорення при рівномірному русі матеріальної точки по колу, яке показує не зміну модуля швидкості (як при прямолінійному русі), а зміну напрямку швидкості. Модуль прискорення залежить від швидкості руху тіла й радіуса відповідного кола

Для довільної криволінійної траєкторії в будь-якій її точці тіло рухається з прискоренням, напрямленим до центра того кола, частиною якого є ділянка, що містить цю точку.

Рівномірний рух по колу характеризується також специфічними кінематичними величинами: кутовим переміщенням, кутовою швидкістю, періодом і частотою.

Період обертання, Т — час одного повного оберту точки, що рухається по колу. Одиниця періоду — секунда (1 с).

Якщо тіло робить N обертів за час t,

Обертова частота, ν — кількість обертів за одиницю часу:

Одиниця частоти — оберти за секунду

Нехай тіло рівномірно рухається по колу радіусом r і за певний час t переміщується з точки А в точку В (мал. 34). Кут φ, який при цьому описує радіус, називається кутом повороту, або кутовим переміщенням.

Одиницею кутового переміщення є радіан (1 рад).

МАТЕМАТИЧНА ДОВІДКА

Кут 1 рад дорівнює центральному куту між двома радіусами, довжина дуги якого дорівнює радіусу.

Кут φ в радіанах і цей самий кут у градусах зв’язані співвідношенням

За один оберт тіло здійснює кутове переміщення 2π рад.

Кутове переміщення — аксіальний вектор Δφ. Аксіальні вектори використовують для опису обертального руху. Вони напрямлені вздовж осі обертання.

Кутова швидкість

точки, що рівномірно рухається по колу, визначається відношенням кутового переміщення до інтервалу часу, протягом якого це переміщення відбулося:

Одиниця кутової швидкості — радіан за секунду

Кутова швидкість — векторна величина. Вектор ω напрямлений уздовж нерухомої осі обертання, причому так, що напрямок обертання та напрямок ω утворюють право-ґвинтову систему (мал. 35): якщо дивитись услід вектору ω, то обертання відбувається за годинниковою стрілкою.

Оскільки кутове переміщення за один період руху дорівнює 2π рад, кутова швидкість може бути визначена через період і частоту

обертання,

Для рівномірного руху по колу кутова швидкість є сталою величиною ω = const.

За період T тіло проходить шлях, що дорівнює довжині кола l = 2πr, тоді модуль лінійної швидкості визначається як

Одиниця лінійної швидкості — метр за секунду

Очевидним є зв’язок між лінійною та кутовою швидкостями: v = ωr.

Ураховуючи зв’язок лінійної та кутової швидкостей, доцентрове прискорення можна виразити і так: а_д = ω²r.

Зверніть увагу! Як видно з формул, доцентрове прискорення в одному випадку прямо пропорційно залежить від радіуса, а в іншому — обернено пропорційно. Цей парадоксальний, на перший погляд, висновок відображає той факт, що якщо в тіл, які рухаються по колу, однакові лінійні швидкості, то доцентрове прискорення є більшим у того з них, яке рухається по колу меншого радіуса; якщо однакові їх кутові швидкості, то доцентрове прискорення більше там, де більший радіус.

Головною особливістю рівномірного руху по колу є те, що відбуваються періодичні повторення положення тіла та відповідні періодичні зміни величин, що характеризують рух. З подібними періодичними змінами величин ми ще зустрінемось, вивчаючи коливання.

Таким чином, за аналогією з кінематикою поступального руху, можна побудувати кінематику обертального руху. Рівняння обертального руху — встановлює залежність вектора кутового переміщення від часу:

На особливу увагу заслуговує приклад криволінійного руху тіла, траєкторією якого є еліпс. Саме еліптичними є орбіти планет нашої Сонячної системи, і детальніше про особливості їх руху ми дізнаємось у § 44.

МАТЕМАТИЧНА ДОВІДКА

Еліпс — це замкнена крива, сума відстаней до кожної точки якої від фокусів F_v і F₂ дорівнює його великій осі, тобто 2а, де а — велика піввісь еліпса (мал. 36).

Якщо кінці нитки заданої довжини закріплені в точках F₁ і F₂, то крива, яка описується вістрям олівця, що ковзає по туго натягнутій нитці, має форму еліпса.

Головними елементами, що характеризують розмір і форму еліпса, є: велика піввісь

Величина ексцентриситету характеризує витягнутість еліпса (відхилення еліпса від кола, для якого е = 0).

ЗНАЮ, вмію, розумію

1. Чим відрізняються зміни швидкості прямолінійного і криволінійного рухів?

2. Чи можна вважати рівномірний рух по колу рівноприскореним?

3. Якщо в русі по колу змінюватиметься і модуль швидкості, як це впливатиме на прискорення?

4. Якими специфічними кінематичними величинами характеризується рух по колу?

Приклади розв'язування задач

Задача 1. Як відомо, період добового обертання Землі становить 24 год. З якою кутовою та лінійною швидкостями рухаються точки поверхні Землі, розташовані на екваторі? Радіус Землі 6400 км.

Задача 2. Дитина їде на велосипеді доріжкою зі швидкістю

Скільки обертів за секунду роблять колеса велосипеда, якщо вони не ковзають? Яке доцентрове прискорення мають точки на ободі колеса, якщо його радіус 35 см?

Розв’язання:

Колесо велосипеда бере участь одночасно у двох рухах: поступальному зі швидкістю ΰ та обертальному з лінійною швидкістю v . Напрямки цих швидкостей показано на малюнку 37. Напрямок вектора швидкості поступального руху збігається з напрямком руху велосипеда, тому в усіх точок колеса він

однаковий (червоні стрілки на малюнку), вектор лінійної швидкості різних точок колеса напрямлений по дотичній, проведеній у цій точці.

Оскільки колесо рухається без проковзування, то точка А, що стикається в даний момент із дорогою, має швидкість, що дорівнює нулю.

Звідси випливає, що швидкість поступального руху за модулем дорівнює лінійній швидкості.

Таким чином, значення швидкості з умови задачі ми можемо використовувати для знаходження

доцентрового прискорення:

Кількість обертів, що робить за секунду колесо (тобто частоту обертання), визначаємо за формулою

ВПРАВА 5

1. За який час колесо, що має кутову швидкість

зробить 100 обертів?

2. Якщо радіус колової орбіти штучного супутника Землі збільшити в 4 рази, то його період обертання збільшиться у 8 разів. У скільки разів зміниться швидкість руху супутника по орбіті?

3. Хвилинна стрілка годинника у три рази довша за секундну. Обчисліть співвідношення лінійних швидкостей кінців стрілок.

4. Обчисліть доцентрове прискорення точок колеса автомобіля, які дотикаються до дороги, якщо автомобіль рухається зі швидкістю

і при цьому частота обер

тання колеса становить 8 с^-1.

5. Дві матеріальні точки рухаються по колах радіусами R₁ і R₂, причому R₁ = 2R₂. Порівняйте їх доцентрові прискорення у випадках: а) коли їх лінійні швидкості однакові; б) коли їх періоди однакові.

6. Яка лінійна швидкість точок земної поверхні на широті 60° під час добового обертання Землі? Вважайте, що радіус Землі — 6400 км.

7. Радіус рукоятки коловорота криниці у 3 рази більший за радіус вала, на який намотується трос. Яка лінійна швидкість кінця рукоятки під час піднімання відра з глибини 10 м за 20 с?

8. Визначте радіус диска, який обертається, якщо лінійна швидкість точок, що лежать на його краю,

9. На горизонтальній осі обертаються зі швидкістю 3000 обертів за хвилину два тонких диски, закріплені на відстані 100 см один від одного. Пущена паралельно осі куля пробиває обидва диски, причому другий отвір від кулі виявився зміщеним відносно першого на кут 45°. Пробивши диски, куля заглиблюється у стіну на 60 см. Визначте: а) швидкість кулі під час її руху між дисками; б) час руху у стіні; в) прискорення кулі під час руху у стіні.

Експериментуємо

Визначте середнє значення періоду обертання кульки, що скочується по похилому жолобу.

 

Це матеріал з підручника Фізика і астрономія за 10 клас Засєкіна (профільний рівень)