Рух тіла у вертикальному напрямку. Рухи, що відбуваються поблизу поверхні Землі під дією сили тяжіння, поділяються на вільне падіння, рух тіла, кинутого вертикально вгору/вниз або під кутом до горизонту та горизонтально з певної висоти. Розділ механіки, що досліджує рух тіл у полі тяжіння Землі, називається балістикою, а сам рух — балістичним. Рух тіла у вертикальному напрямку описується рівняннями рівно-

прискореного руху:

переміщення по вертикалі, v₀, V — швидкість на початку і в кінці руху, g — прискорення вільного падіння.

Рух тіла, кинутого вертикально вгору до максимальної висоти підйому, є рівносповільненим, потім вниз — рівноприскореним, без початкової швидкості. Час підйому дорівнює часу падіння.

З певної висоти тіло можуть кидати вниз, надаючи йому деякої початкової швидкості, а можуть відпускати — тоді тіло падає без початкової швидкості (v₀ = 0) (вільне падіння).

Рух тіла, кинутого під кутом α до горизонту. Рух тіла, кинутого під кутом α до горизонту, можна розглядати як результат додавання двох незалежних рухів: рівномірного прямолінійного вздовж осі Х і рівнозмінного вздовж осі Y. Із цього випливає, що проекція швидкості v_x (мал. 45, с. 52) весь час залишається постійною: v_0x = v_x = const. Координата х змінюється згідно із законом рівномірного руху: x = x₀ + v_0xt.

Уздовж осі Y рух є рівноприскореним, оскільки вектор прискорення вільного падіння g на невеликих висотах є величиною сталою, отже,

згідно із законом рівноприскореного руху:

Таким чином, закон балістичного руху для тіла, кинутого під кутом α до горизонту, має вигляд:

Розв’язуючи дану систему рівнянь, можна отримати рівняння траєкторії такого руху. Для цього з першого рівняння виразимо час

і підставимо його у друге рівняння. Після спрощень і враховуючи, що

отримуємо рівняння траєкторії:

З рівняння видно, що залежність y(x) є квадратичною, отже, графіком руху є парабола. Вітки параболи напрямлені вниз, оскільки коефіцієнт перед х² менший від нуля, і парабола проходить через початок координат, оскільки у = 0 при х = 0 (мал. 45).

Визначимо основні параметри балістичного руху: час і дальність польоту, максимальну висоту підйому.

Унаслідок незалежності рухів уздовж координатних осей підйом тіла по вертикалі визначається лише проекцією початкової швидкості v_0y на вісь Y. Звідси випливає, що якщо вертикальна проекція швидкості тіла, кинутого під кутом α до горизонту, така сама, як і початкова швидкість тіла, кинутого вертикально вгору, то ці тіла будуть рухатися синхронно. Тому максимальну висоту підйому і час підйому можна визначити з відомих вам формул, що описують рух тіла, кинутого вертикально вгору.

Для тіла, кинутого вертикально вгору, v_y = v_0y - gt. Ураховуючи, що на

максимальній висоті підйому v_y = 0, визначимо час підйому:

З урахуванням того, що для тіла, кинутого під кутом до горизонту,

Оскільки парабола симетрична, то час підйому дорівнює часу падіння, і загальний час польоту

МАТЕМАТИЧНА ДОВІДКА

За наявності опору повітря траєкторія польоту тіла, кинутого під кутом до горизонту, не буде правильною параболою. Дальність польоту при цьому буде меншою від розрахованої за цією формулою.

Форму траєкторії руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, відтворює струмінь води, спрямований під кутом до горизонту. Спочатку зі збільшенням кута α струмина б’є все далі й далі. Коли кут досягає 45°, дальність є найбільшою. З подальшим збільшенням кута дальність зменшується.

Для розрахунку швидкості руху тіла в довільній точці траєкторії та визначення кута β, який утворює вектор швидкості з горизонталлю, достатньо знати проекції швидкості на осі Х та Y. При цьому слід враховувати, що горизонтальна проекція швидкості залишається постійною й дорівнює початковому значенню, v_x = v_0x = const, вертикальна ж проекція змінюється: у разі підйому вгору вона зменшується за лінійним законом,

на максимальній висоті v_y = 0, далі тіло падає вниз.

Модуль результуючої швидкості

Вектор результуючої швидкості утворює з горизонтом кут β, що змінюється із часом,

Висота, на яку підніметься тіло за довіль

ний інтервал часу польоту:

Рух тіла, кинутого горизонтально з висоти H. Це окремий випадок руху тіла, кинутого під кутом до горизонту (α = 0) з деякої висоти Н. Це криволінійний рух уздовж однієї вітки параболи від її вершини. У вертикальному напрямку вздовж осі Y відбувається вільне падіння, у горизонтальному напрямку вздовж осі Х — рівномірний рух (мал. 46, с. 54).

У будь-який момент часу швидкість v напрямлена по дотичній до траєкторії. Горизонтальна проекція швидкості в будь-який момент часу залишається сталою, v_x = v₀, а вертикальна проекція лінійно зростає із часом: v = gt. y

Рівняння руху в горизонтальному напрямку x = v_xt, у вертикальному —

Зверніть увагу! Усі формули в даному параграфі отримано за умови g = const, тобто рух відбувається на малих висотах.

Геометричний спосіб опису руху в полі тяжіння Землі. Розглянуті вище формули виводились аналітичним методом — з використанням проекцій векторних величин на осі координат. Описати рух кинутого під кутом до горизонту тіла можна й векторним методом.

Згідно з принципом незалежності рухів, рух кинутого тіла є одночасно прямолінійним рівномірним з постійною швидкістю v₀ (у напрямку вектора v₀) та рівноприскореним із прискоренням g без початкової швидкості (у напрямку вектора g). У першому випадку переміщення тіла v₀t, у другому —

результуюче переміщення дорівнює векторній сумі

Якщо початок відліку міститься в точці, де тіло перебувало в момент t = 0, то вектор переміщення за інтервал часу від 0 до t збігається з радіусом-век-

тором у момент часу t. Тобто

Розглянемо приклад. Нехай тіло, що кинуто з поверхні Землі під деяким кутом з початковою швидкістю v₀, через деякий час t впало на землю. Необхідно визначити відстань l від місця кидання до місця падіння. Накреслимо трикутник переміщень (мал. 47).

Вектор v₀t виходить з точки кидання й напрямлений уздовж вектора v₀ під деяким кутом

до горизонту. Вектор

напрямлений вертикально вниз у точку падіння тіла. Відповідно, результуючий вектор переміщення r — між точками кидання та падіння. Як видно, утворе-

ний трикутник є прямокутним. Шукану відстань І, що дорівнює модулю вектора r , визначимо за теоремою Піфагора:

Зверніть увагу на те, що в цьому випадку дальність польоту не залежить від кута кидання. Формально цей кут визначається початковою швидкістю та часом польоту. З малюнка 47

видно, що

Спробуйте самостійно, використовуючи цей метод та малюнок 48, визначити дальність польоту І, якщо тіло кидають зі схилу, що утворює з горизонтом кут β. Початкова швидкість тіла v₀ напрямлена під кутом α до схилу.

ЗНАЮ, вмію, розумію

1. Доведіть, що час підйому тіла, кинутого вертикально вгору, дорівнює часу його падіння.

2. Доведіть, що тіло, яке кидають вертикально вгору і яке згодом падатиме вниз, матиме в будь-якій точці траєкторії швидкості, рівні за модулем і протилежні за напрямком.

3. Людина, що стоїть на краю схилу, кидає одне тіло вертикально вгору, інше — вертикально вниз. У якого з тіл у момент падіння на землю буде більша швидкість?

4. Які фактори має враховувати людина, що виконує стрибок у довжину? А людина, що стрибає у висоту?

Приклади розв'язування задач

Задача 1. Тіло, що вільно падає, пройшло останні 10 м за 0,25 с. Визначте, з якої висоти падало тіло та швидкість у момент його приземлення.

Після підстановки числових значень отримуємо:

ВПРАВА 9

1. Тіло вільно падає з висоти 39,2 м. За який час тіло пройде: а) перший метр свого шляху; б) останній метр свого шляху? Чому дорівнює середня швидкість на другій половині шляху?

2. Тіло, яке вільно падає без початкової швидкості, за останню секунду руху проходить

усього шляху. Визначте шлях, пройдений тілом за час падіння.

3. Тіло вільно падає з висоти 80 м. Визначте його переміщення за останню секунду падіння.

4. Вільно падаюче тіло пролетіло точку А своєї траєкторії зі швидкістю v_A. З якою швидкістю воно пролетить точку В, яка лежить на відстані h нижче точки А?

5. З вежі, що має висоту h, кидають одночасно два тіла: перше — зі швидкістю v₁ вертикально вгору, а друге — зі швидкістю v₂ вертикально вниз. Визначте різницю часу At між моментами падіння кожного з тіл на землю.

6. М’ячик вільно падає з висоти 120 м на горизонтальну поверхню. Після кожного відбивання від поверхні швидкість м’ячика зменшується в n = 2 рази. Побудуйте графік швидкості та визначте шлях, пройдений м’ячиком за час руху.

7. Дальність польоту тіла, кинутого в горизонтальному напрямку зі швидкістю

дорівнює висоті кидання. З якої висоти кинуто тіло?

8. Під кутом 60^о до горизонту кидають тіло з початковою швидкістю

Визначте

переміщення тіла від точки кидання через 5 с.

9. Тіло кинули під кутом α до горизонту з початковою швидкістю v₀. Накресліть графіки залежності: а) вертикальної проекції швидкості від часу v_y(t); б) вертикальної проекції швидкості від висоти підйому v (h); в) вертикальної проекції швидкості від дальності польоту v_y(L).

10. Два тіла кинуто з однаковими швидкостями під кутами

до горизонту.

Визначте відношення максимальних висот підйому цих тіл.

11. На яку відстань викидається струмина води з брандспойта, встановленого під кутом 30° до горизонту, якщо початкова швидкість струмини води

Урахуйте,

що опір повітря зменшує дальність викидання струмини порівняно з розрахованою на 20 %.

 

Це матеріал з підручника Фізика і астрономія за 10 клас Засєкіна (профільний рівень)