Обертальний рух твердого тіла. Досліджуючи обертальний рух твердого тіла, ми зупинимось на випадку, коли тіло обертається навколо нерухомої осі. Під час такого руху всі точки тіла описують концентричні кола, центри яких лежать на осі обертання.

Для дослідження обертального руху твердого тіла розглядатимемо лише точки, що лежать в одній площині, перпендикулярній до осі обертання.

Кінематика обертального руху твердого тіла характеризується вже знайомими нам величинами: кутом повороту

кутовою швидкістю

і кутовим прискоренням ε.

Кінематичні рівняння рівноприскореного обертання твердого тіла навколо нерухомої осі мають такий самий вигляд, як і рівняння рівноприскореного обертального руху матеріальної точки:

Досліди з дослідження динаміки обертального руху твердого тіла. Для дослідження динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі розглянемо такі досліди.

Використаємо установку (мал. 91, а), що складається з двох блоків різного радіуса, закріплених на одній осі. До цих блоків прикріплено чотири легкі стержні. На кожному з них розміщуємо тягарець масою m (на однаковій відстані від осі обертання). На один із блоків намотуємо нитку. До вільного кінця нитки підвішуємо тягарець масою M. Під дією сили тяжіння тягарець M опускається, при цьому нитка розкручує блок і вся установка починає обертатися. Дослідимо, як обертається установка за різних значень мас тягарців m та M, а також за їх різного розташування відносно осі.

Спочатку, не змінюючи положення й маси тягарців m, збільшуватимемо масу тягарця M, тим самим збільшуючи силу, що діє на установку (мал. 91, б). Спостерігаючи за рухом тягарця M та обертанням установки, можна зробити висновок: що більшою є маса M, а отже, і діюча сила F, то швидше обертається установка. Це означає, що кутове прискорення тіла прямо пропорційне діючій силі.

Не змінюючи маси тягарців m і M та положення малих тягарців на стержнях, намотуватимемо нитку з тягарцем M на блоки різних радіусів (мал. 91, в). При цьому змінюватиметься відстань d від лінії дії сили до осі обертання.

Дослід показує: що більшим є радіус блока, то швидше обертатиметься установка. Це означає, що кутове прискорення залежить не лише від значення прикладеної сили, а й від її плеча.

Мал. 91. Досліди з дослідження обертання твердого тіла

Не змінюючи масу тягарця M і відстань d, змінюватимемо маси малих тягарців m. Збільшуючи масу тягарців, помічаємо, що установка обертається повільніше, тобто кутове прискорення тіла залежить від маси цього тіла.

Не змінюючи маси всіх тягарців, змінюватимемо положення малих тягарців на стержнях. Дослід показує: що меншою є відстань r, тобто що ближче розташовані тягарці до осі обертання, то швидше за фіксованої (сталої) сили F обертається тіло.

Якщо проводити дослід із секундоміром, то можна визначити, що зі зменшенням відстані r у два рази тягарець M опускається в 4 рази швидше. Це означає, що кутове прискорення тіла, яке обертається, обернено пропорційне квадрату відстані від осі обертання до цього тіла.

Рівняння обертального руху твердого тіла має відображати всі ці досліджувані залежності.

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі. Для виведення основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі виділимо невеликий елемент маси цього тіла — точку масою m. Нехай на цю точку масою m, що розташована на відстані r від осі обертання, діє у площині обертання постійна сила F, напрямлена перпендикулярно до радіуса (мал. 92).

За другим законом Ньютона F = ma_t.

Оскільки для обертального руху суттєвим є момент сили, то помножимо обидві частини рівняння на r — відстань від осі обертання до лінії дії сили (у нашому випадку

Величина mr² є постійною для заданих значень m та r і називається моментом інерції J точки, що обертається.

Таким чином, вираз для моменту сили має вигляд M = J ε. Цей вираз аналогічний формулі F = m а. Роль сили F відіграє момент сили M, роль прискорення a — кутове прискорення ε, а роль маси m — момент інерції J.

Для твердого тіла, що складається з n малих елементів маси, момент інерції можна визначити, додавши моменти інерції всіх елементів:

Таким чином, основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі має вигляд M = Jε.

З рівняння випливає, що кутове прискорення, яке отримує тверде тіло внаслідок дії моменту сили, прямо пропорційне значенню цього моменту

сили та обернено пропорційне моменту інерції тіла:

Момент інерції. Момент інерції є величиною, що характеризує обертальний рух твердого тіла — це скалярна величина, яка є мірою інертності тіла в обертальному русі навколо цієї осі. Відіграє таку саму роль, як і маса в поступальному русі. Момент інерції матеріальної точки (або елемента маси), що рухається по колу радіусом r, визначається формулою J = mr².

Одиниця моменту інерції — кілограм-метр у квадраті: 1 кг · м².

Момент інерції тіла одночасно враховує вплив на кутове прискорення маси тіла, його форми, геометричних розмірів, розташування осі обертання та розподіл маси по об’єму тіла.

У таблиці 2 наведено моменти інерції деяких однорідних тіл.

Таблиця 2

Тіло	Як проходить вісь обертання		J
Тонкий стержень масою m і довжиною l	Перпендикулярно до стержня через його середину
Тонкий стержень масою m і довжиною l	Перпендикулярно до стержня через його кінець
Тонка трубка або кільце радіусом r	Збігається з віссю трубки
Круглий диск або циліндр масою m і радіусом r	Перпендикулярно до площини диска через його центр
Куля масою m і радіусом r	Збігається з діаметром
Круглий циліндр масою m, довжиною l і радіусом r	Перпендикулярно до осі циліндра через його середину

Цікаво знати

Можна навести багато прикладів обертання тіл у природі й техніці. Наприклад, дзиґа. Перші свідчення про дзиґу та її незвичайні властивості відомі з давніх-давен. Сучасні іграшки є прототипом тих, що виготовлялись у Китаї ще в III тисячолітті до нової ери. Дзиґа викликає захоплення не лише в дітей (мал. 93).

Властивості дзиґи — її стійкість (незмінність у просторі напрямку осі власного обертання й надзвичайна опірність зовнішнім діям) і прецесія (повільне обертання осі власного обертання дзиґи під дією моменту сил) — стали підґрунтям створення на її основі цілої низки приладів і пристроїв, які називають гіроскопічними (гіроскоп — пристрій, що містить швидкообертове тверде тіло, яке може обертатися навколо трьох взаємно перпендикулярних осей) (мал. 94).

Мал. 94. Гіроскопічні пристрої

Гіроскопи застосовують в авіації, космонавтиці, судноплавстві й навіть у сучасних смартфонах. Наприклад, у транспортних засобах (літаках, кораблях) вільний гіроскоп застосовують як «автокермо». Напрямок руху корабля задається напрямком осі вільного гіроскопа. За будь-яких відхилень корабля від курсу вісь гіроскопа зберігає свій колишній просторовий напрямок, а карданів підвіс повертається щодо корпусу корабля. Поворот рами карданова підвісу відстежується за допомогою спеціальних пристроїв, які видають команди автоматам на поворот керма й повернення корабля на заданий курс.

За допомогою гіроскопа визначається положення смартфона в просторі, що дозволяє, приміром, здійснювати управління в іграх, нахиляючи мобільний пристрій у той чи інший бік.

ЗНАЮ, вмію, розумію

1. Що таке момент інерції тіла? Від чого залежить момент інерції певного тіла?

2. Поясніть досліди з обертання твердого тіла. Які висновки можна зробити з таких дослідів?

3. Запишіть основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла.

Експериментуємо

1. Поясніть відмінності в обертанні сирого й круто звареного курячого яйця.

2. Самобалансуючого робота можна сконструювати й самостійно (мал. 95). Спробуйте.

Приклади розв'язування задач

Розв’язуючи задачі, потрібно застосовувати основне рівняння динаміки та кінематичні рівняння обертального руху, а також формули, що описують властивості сил, які діють між тілами.

Задача 1. Однорідний диск масою 2500 кг і радіусом 1 м обертається

навколо осі, що проходить через його центр, здійснюючи

До диска притискають пластину. Якою має бути сила, що діє по дотичній до диска, щоб через 5 хв кількість обертів стала вдвічі меншою?

Розв’язання:

1. Скористаємось основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі M= J ε.

Після підстановки числових значень знаходимо, що F = -131 Н. Знак мінус «-» вказує на гальмівну дію сили.

Відповідь: -131 Н.

Задача 2. Через блок, що має форму диска, масою 0,1 кг та радіусом 0,025 м перекинуто нитку, до кінців якої підвішені вантажі, маси яких 1,2 і 0,8 кг. Визначте різницю сил натягу нитки з обох боків блока та прискорення вантажів. Вважайте, що нитка нероз-тяжна і проковзування немає.

Розв’язання:

Зробимо малюнок до задачі (мал. 97).

Оскільки нитка нерозтяжна, прискорення вантажів однакові,

Запишемо рівняння руху вантажів у проекціях на вибрану вісь Y (мал. 97).

Моменти сил T і Т₂ напрямлені у протилежні боки, отже, основне рівняння динаміки обертального руху блоку набуває вигляду (T₂ - T_x)r = Je .

Оскільки нитка не проковзує, блок під дією вантажів обертається з кутовим прискоренням

Момент інерції блока (диска)

Підставивши ці вирази в основне рівняння динаміки обертального руху, маємо:

ВПРАВА 13

1. На барабан радіусом 0,5 м намотано нитку, до кінця якої прив’язано вантаж масою 10 кг Визначте момент інерції барабана, якщо вантаж опускається з прискоренням

2. Кільце масою 1 кг і радіусом 0,2 м обертається з кутовою швидкістю 100

Кільце кладуть на горизонтальну поверхню. Внаслідок тертя кільце зупиняється через 10 с. Визначте коефіцієнт тертя.

3. Диск масою 10 кг і радіусом 10 см вільно обертається навколо осі, що проходить через центр, з кутовою частотою

Гальмуючи, диск зупиняється за 5 с.

Визначте гальмівний момент.

4. Визначте гальмівний момент, яким можна зупинити за 20 с махове колесо масою 50 кг, розподіленою по ободу колеса, і радіусом 30 см. Кутова частота обертання

колеса —

5. До обода однорідного диска радіусом 0,2 м прикладена по дотичній сила 98,1 Н. Під час обертання на диск діє момент сил тертя 4,9 Нм. Визначте масу диска, якщо

він обертається з кутовим прискоренням

6. Однорідний стержень завдовжки 1 м і масою 0,5 кг обертається у вертикальній площині навколо горизонтальної осі, що проходить через середину стержня. З яким кутовим прискоренням обертається стержень, якщо на нього діє момент сил 98,1 мН · м?

7. Маховик, момент інерції якого 63,6 кг · м², обертається з кутовою швидкістю

Визначте момент сил гальмування, під дією якого маховик зупиниться за 20 с. Маховик вважайте однорідним диском.

Перевірте себе (§ 7-13)

1. Тіло змінює свою швидкість так, як показано на малюнку. У які інтервали часу, систему відліку, пов’язану із цим тілом, можна вважати інерціальною?

2. Укажіть, яка з характеристик руху тіла залишається незмінною при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої.

А початкові координати В швидкість

Б напрямок руху Г прискорення

3. На пружині жорсткістю k висить вантаж масою m. На скільки відсотків зміниться абсолютне видовження пружини, якщо коефіцієнт жорсткості зменшиться на 60 %?

А зменшиться на 30 % В зменшиться на 40 %

Б зменшиться на 60 % Г не зміниться

4. Підкинутий м’яч у певний момент рухається вертикально вгору зі швидкістю

Визначте, як зміниться модуль його швидкості через 1 с. Вважайте, що

опір повітря не враховуйте.

А не зміниться В збільшиться вдвічі

Б зменшиться вдвічі Г збільшиться втричі

5. Одну цеглину поклали на іншу й підкинули вертикально вгору. У який момент руху сила тиску верхньої цеглини на нижню дорівнюватиме нулю? Опір повітря не враховуйте.

А тільки під час руху вгору Б тільки під час руху вниз

В тільки в момент досягнення верхньої точки траєкторії Г протягом усього часу польоту

6. Система із двох тягарців, зображена на малюнку, рухається рівномірно. Визначте коефіцієнт тертя на ділянці KL, якщо поверхня LM гладенька.

7. За допомогою системи блоків рівномірно піднімають вантаж масою m = 4 кг, прикладаючи силу F = 25 Н (див. малюнок). Яким є коефіцієнт корисної дії такого механізму?

8. Тіло ковзає рівномірно похилою площиною з кутом нахилу в 40°. Визначте коефіцієнт тертя між площиною та тілом.

9. Кулька, що підвішена на нерозтяжній нитці завдовжки 10 м рівномірно обертається в горизонтальній площині. При цьому нитка весь час утворює з вертикаллю кут 45°. Визначте період обертання кульки.

Вважайте, що

10. Щоб виміряти масу лінійки, на один з її кінців поклали вантаж масою 250 г і почали висовувати цей кінець за край стола. Лінійка перебувала в рівновазі доти, поки її не висунули на чверть довжини. Якою є маса лінійки?

 

Це матеріал з підручника Фізика і астрономія за 10 клас Засєкіна (профільний рівень)