Гідростатика та гідродинаміка. Гідростатика вивчає закони рівноваги рідин, які перебувають у стані абсолютного чи відносного спокою та рівноваги тіл, занурених у рідини за умови, коли відсутні переміщення часток рідини одна відносно одної.

Одне з основних завдань гідростатики — вивчення розподілу тиску в рідині.

Знаючи розподіл тиску на підставі законів гідростатики, можна розрахувати сили, що діють з боку рідини, що перебуває в стані спокою, на занурені в неї тіла, наприклад, на стіну греблі, занурений трубопровід, конструкції морських нафто- і газовидобувних платформ тощо. Зокрема, можна вивести умови плавання тіл на поверхні або всередині рідини, а також з’ясувати, за яких умов тіла, які плавають, будуть мати стійкість, що особливо важливо в кораблебудуванні. На законах гідростатики, зокрема на законі Паскаля, ґрунтується робота гідравлічного преса, гідравлічного акумулятора, рідинного манометра, сифона й багатьох інших машин і приладів.

Закон Паскаля: тиск, який діє на рідину або газ, передається ними в усіх напрямках однаково.

Кожний верхній шар рідини своєю вагою тисне на шари, що містяться нижче. Тиск у рідинах називають гідростатичним. Гідростатичний тиск рідин залежить від густини рідини й висоти стовпа рідини в посудині: p = pgh, де ρ — густина рідини, h — висота стовпа рідини.

За цією формулою можна визначити тиск рідини, налитої в посудину будь-якої форми. Крім того, за нею можна обчислити й тиск на стінки посудини, а також тиск усередині рідини, у тому числі й тиск знизу вгору, оскільки він на тій самій глибині однаковий у всіх напрямках.

Закон Архімеда: на тіло, занурене в рідину або газ, діє виштовхуваль-на сила, яка дорівнює вазі рідини або газу в об’ємі цього тіла: F = pgV, де ρ — густина рідини, у яку повністю занурене тіло об’ємом V.

Гідродинаміка вивчає рух нестисливих рідин під дією зовнішніх сил і механічну взаємодію між рідиною й тілами при їх відносному русі.

Рух реальних рідин і газів — складне явище для дослідження математичними методами, тому для його опису застосовують модель — ідеальну рідину, яка вважається однорідною нестисливою й нев’язкою. Під час руху ідеальної рідини не відбувається перетворення механічної енергії у внутрішню, отже, для опису її руху можна застосовувати закон збереження механічної енергії.

Рух рідин може бути ламінарним (від лат. laminia — шар) і турбулентним (від лат. turbulentus — вихор).

У ламінарній течії шари рідини ніби ковзають один по одному, не змішуючись. Такий рух рідини — стаціонарний. За невеликих швидкостей руху рідини можливий її стаціонарний потік. У турбулентній течії рух рідин нестаціонарний — шари рідини змішуються, утворюючи завихрення.

Розглянемо стаціонарний рух ідеальної рідини по трубі змінного перерізу (мал. 108).

Протягом інтервалу часу ^t рідина у трубі на ділянці перерізом S_x змістилася на l_x = v kt, а на ділянці перерізом S₂ — на l₂ = v^t, де v , v₂ — швидкість руху рідини на відповідних ділянках труби.

Оскільки рідина у трубі не накопичується і не стискається, то об’єм рідини, що проходить через широку ділянку труби, дорівнює об’єму рідини, що проходить через її вузьку ділянку протягом однакового інтервалу часу Δί: V = V₂ — умова неперервності течії рідини.

Об’єм рідини, що проходить через переріз S₁ труби, дорівнює

Швидкість руху однорідної нестисливої та нев’язкої рідини у трубі змінного перерізу обернено пропорційна площі її поперечного перерізу:

Рівняння Бернуллі. Як відомо, нерухома рідина в посудині, згідно із законом Паскаля, передає зовнішній тиск до всіх точок рідини без змін. Якщо рідина тече без тертя по трубі змінного перерізу, то тиск на різних ділянках труби неоднаковий: у вузьких ділянках труби, де швидкість руху рідини є більшою, тиск менший, у широких — навпаки. Пояснимо цей факт.

Переходячи із широкої ділянки труби у вузьку, рідина змінює свою швидкість, тобто рухається з прискоренням. А за другим законом Ньютона тіло набуває прискорення тоді, коли на нього діє сила. Це означає, що на рідину, яка в даний момент міститься у звуженій частині труби, діє з боку рідини в ширшій її частині певна сила, що може виникнути тільки внаслідок різниці тисків у різних перерізах труби. Сила напрямлена в бік вузької частини труби, отже, у вузьких місцях тиск менший, ніж у широких. Ця сила тиску, яка змушує рідину текти по трубі, є силою пружності стиснутої рідини. Говорячи про нестисливість рідини, мають на увазі лише те, що вона не може бути настільки стиснутою, щоб помітно змінився її об’єм. Разом з тим, дуже мале стиснення, яке спричиняє виникнення сил пружності, неминуче відбувається. Ці сили й створюють тиск рідини.

Установимо зв’язок між тиском і швидкістю рідини в різних перерізах труби. Виділимо тонкий поперечний шар рідини масою m. У перерізі S₁

потенціальна енергія шару рідини дорівнює mgh₁, а кінетична —

Перемістившись у переріз S₂, цей шар матиме потенціальну енергію mgh₂ і кінетичну —

На вибраний шар рідини в перерізі S_l тисне рідина, що тече позаду, а рідина, що тече попереду, заважає його переміщенню. Іншими словами, над даним шаром рідини решта рідини виконує роботу. Визначимо її.

Позначимо тиск рідини на перерізі S₁ через p₁, а зустрічний тиск на перерізі S₂ — через p₂. Сила тиску на перерізі S₁ виконує додатну роботу p₁S₁Z₁, а сила зустрічного тиску — від’ємну роботу —p₁S₁Z₁. Ураховуючи, що S₁l₁ = S₂l₂ = V, вираз для роботи сили тиску має вигляд (p₁ - p₂)V. У ре

зультаті виконання силами тиску роботи змінюється повна механічна енергія шару рідини

Розкриємо дужки та перенесемо всі члени, що стосуються перерізу S_j у лівий бік рівності, а ті, що стосуються перерізу S₂, — у правий. Поділимо рівність на V і, врахувавши, що

Перерізи були вибрані довільно, отже, ця рівність виконується для всіх перерізів:

Отриманий вираз називається рівнянням Бернуллі, що описує рух ідеальної рідини.

З’ясуємо, який фізичний зміст мають доданки цього рівняння. Очевидно, що pgh— потенціальна енергія одиничного об’єму рідини,

його кінетична енергія, тому і перший доданок має зміст енергії, а саме — це потенціальна енергія «стиснутого» зовнішнім тиском p одиничного об’єму рідини.

Отже, фізичний зміст рівняння Бернуллі полягає в тому, що в потоці ідеальної рідини повна механічна енергія одиниці її об’єму є величиною сталою по всій довжині труби.

Закон Бернуллі був відкритий у 1738 р. Цей закон справджується і для рухомого газу, але за умови, що його тиск невеликий і густина суттєво не змінюється.

Зауважимо ще один факт. Усі доданки рівняння мають розмірність тиску. Тому в інженерній практиці їх називають: p — статичний тиск,

Рівняння Бернуллі для горизонтального потоку має вигляд

З нього випливає, що зі збільшенням швидкості v

має зменшуватись тиск р, щоб сума статичного і динамічного тисків була сталою, і навпаки.

Цікаво знати

Рівняння Бернуллі дає змогу якісно пояснити виникнення піднімальної сили крила літака. Механізм виникнення цієї сили подвійний. З одного боку, це сила реакції, що виникає під час відбивання потоку повітря й дорівнює зміні його імпульсу за одиницю часу. З другого боку, під час обтікання крила за ним утворюються вихори, які знижують, як це випливає з рівняння Бернуллі, тиск над крилом.

Теорія піднімальної сили крила була створена Миколою Єгоровичем Жуковським. Кожний літак має крила, які можуть мати найрізноманітнішу форму, але їх об’єднує спільна ознака: плоска нижня поверхня й опукла верхня (мал. 109). Унаслідок такої несиметричності форми крила потоки повітря проходять різні відстані й зустрічаються поблизу гострого заднього його краю з різними швидкостями. Це спричинює виникнення вихорів, у яких повітря рухається проти годинникової стрілки. Ці вихори, збільшуючись, відриваються від крила й відносяться потоком. Решта маси повітря поблизу крила обертається проти напрямку обертання вихорів, що створює циркуляцію повітря навколо крила. Накладаючись на загальний потік, циркуляція прискорює рух повітря над крилом і сповільнює його під крилом. Унаслідок цього над крилом тиск знижується, а під крилом — збільшується. У результаті дії цієї різниці тисків на крило літака діє сила, напрямок якої утворює певний кут відносно набігаючого повітряного потоку. Цю силу можна розкласти на дві складові. Вертикальна складова цієї сили F_y називається піднімальною силою, горизонтальна F_x — силою опору повітря.

Скориставшись рівнянням Бернуллі, можна обчислити піднімальну силу крила літака під час його польоту в повітрі. Якщо швидкість потоку повітря над крилом більша, ніж під крилом, то згідно з рівнянням Бернуллі виникає різниця тисків:

тиск під крилом,

р_х — тиск над крилом. Піднімальну силу можна обчислити за формулою

швидкість потоку повітря над крилом, v₂ — швидкість потоку повітря під крилом.

Під час горизонтального польоту піднімальна сила має дорівнювати силі земного тяжіння, а сила тяги гвинтів двигунів — лобовому опору. Модулі цих сил залежать від кута атаки α крил літака.

У переліку світових авіаційних лайнерів одне з провідних місць займають українські літаки (мал. 110). Всесвітньо відомі АН-124 «Антей», АН-140 та АН-70, сконструйовані й виготовлені в Україні.

ЗНАЮ, вмію, розумію

1. У чому полягає суть закону Паскаля? Як ви уявляєте механізм передачі тиску рідинами та газами, якщо на них діє зовнішня сила?

2. Які сили діють на тіло, що плаває в рідині? Зобразіть їх.

3. Доведіть, що швидкість руху рідини у трубі змінного перерізу обернено пропорційна площі поперечного перерізу.

4. Поясніть, чому тиск рідини більший там, де швидкість потоку менша, і менший там, де швидкість потоку більша.

5. Наведіть приклади, що підтверджують закон Бернуллі. Наведіть приклади застосування закону Бернуллі в техніці.

Експериментуємо

Тримаючи за кінчики два аркуші паперу зі шкільного зошита так, щоб відстань між їх площинами була 3-5 см, подуйте у простір між ними. Опишіть і поясніть явище, що спостерігалося.

Приклади розв'язування задач

Задача 1. Доведіть теорему Торрічеллі, згідно з якою швидкість витікання з вузького отвору в широкій посудині дорівнює швидкості вільного падіння з висоти рівня рідини в посудині над отвором.

Задача 2. Медична сестра тисне на поршень шприца діаметром 1 см із силою 0,01 Н. Визначте швидкість витікання струменя рідини зі шприца, який

розташовано горизонтально. Тертям знехтуйте. Густина рідини —

Оскільки діаметр шприца значно перевищує діаметр голки, то швидкість руху рідини у шприці v ^ 0, тиск p₁ дорівнює сумі зовнішнього тиску

Задача 3. Переріз русла річки — 130 м^{1 2 3 4}, швидкість течії в цьому місці —

Яка швидкість течії у вузькому місці, площа перерізу якого

дорівнює 52 м²?

ВПРАВА 18

1. У циліндричну трубку площею поперечного перерізу 5 см² налили 100 г ртуті, 50 г гліцерину і 30 г води. Визначте тиск рідин на дно трубки, якщо її встановлено вертикально й під кутом 30° до горизонту.

2. На якій глибині у воді тиск буде в п’ять разів більшим від атмосферного, що становить 750 мм рт. ст.?

3. У сполучені посудини налили гліцерин, а зверху в одну посудину налили стовп води заввишки 40 см, а в другу — стовп олії заввишки 60 см. Визначте різницю рівнів гліцерину в сполучених посудинах.

4. Порожниста чавунна куля масою 5 кг плаває у воді так, що її половина занурена у воду. Визначте об’єм порожнини кулі.

5. У посудину налили ртуть і олію. Опущена в посудину куля плаває так, що її нижня половина занурена у ртуть, а верхня — в олію. Визначте густину кулі.

6. Крижина площею поперечного перерізу 1 м² і заввишки 40 см плаває у воді. Яку роботу треба виконати, щоб повністю занурити крижину у воду?

7. Наповнену воднем метеорологічну кулю-зонд масою 8 кг запускають без початкової швидкості. Вважаючи рух рівноприскореним, визначте висоту підняття кулі та її повну енергію в кінці 5-ї секунди руху. Радіус оболонки кулі — 1,5 м, опір її рухові — 50 Н. Зміною густини повітря знехтуйте.

8. У пожежному шлангу діаметром 7 см тече вода зі швидкістю

Визначте внутріш

ній діаметр трубки брандспойта, якщо вода витікає з нього зі швидкістю

9. У горизонтальній трубі, діаметр якої 8 см, нафта тече зі швидкістю

за тиску

150 кПа. Визначте, під яким тиском тече нафта у вузькій частині труби діаметром 4 см.

10. Під час польоту тиск повітря під крилом літака дорівнює 97,8 кПа. Площа крила — 20 м². Визначте піднімальну силу крила літака.

11. Якою має бути висота циліндричної посудини радіусом 5 см, заповненої водою, щоб сила тиску води на дно дорівнювала силі тиску на бічну поверхню?

12. Площа поршня у шприці — 2 см², а площа отвору — 1 мм². Скільки часу витікатиме вода зі шприца, якщо діяти на поршень із силою 8 Н і якщо хід поршня — 5 см? Шприц розташовано горизонтально.

13. З брандспойта б’є струмина води, що дає

Яка площа поперечного перерізу

струмини на висоті 2 м над кінцем брандспойта, якщо поблизу нього вона дорівнює 1,5 см²?

 

Це матеріал з підручника Фізика і астрономія за 10 клас Засєкіна (профільний рівень)