Ідеальний газ. Як ми вже знаємо, вивчаючи фізичні явища, використовують метод моделювання. При цьому чинниками, які не мають суттєвого впливу на хід явища, нехтують, отримавши можливість теоретично (математично) досліджувати ідеалізоване явище. Якщо модель явища створено вдало, це дає змогу вивчати процеси, що відбуваються реально, і передбачати їх перебіг у різних випадках.

Сформульовані раніше основні положення молекулярно-кінетичної теорії речовини спочатку застосуємо до найпоширенішого і найпростішого за будовою стану речовини — газоподібного. Зробимо це, використавши модель — ідеальний газ — таку фізичну модель реального газу, у якій молекули вважають матеріальними точками, що майже не взаємодіють між собою. Точніше, в ідеальному газі:

а) силами міжмолекулярної взаємодії нехтують;

б) вважається, що взаємодія між молекулами відбувається тільки під час зіткнень молекул і є пружною взаємодією, між зіткненнями молекули рухаються рівномірно і прямолінійно;

в) власним об’ємом молекул нехтують, тобто вважають молекули матеріальними точками.

На основі експериментальних результатів дослідження газів, з використанням моделі ідеального газу була побудована молекулярно-кінетична теорія газів. Відразу зазначимо, що реальні гази набувають властивостей ідеального газу за значного розрідження, коли середня відстань між молекулами набагато більша за їхні розміри. Більшість реальних газів за кімнатної температури й нормального атмосферного тиску є близькими за своїми властивостями до ідеального газу. Найближчими до ідеального газу є водень і гелій (за нормальних умов).

За високих тисків і низьких температур реальний газ не можна вважати ідеальним, оскільки за цих умов відстані між молекулами такі, що сили притягання починають відігравати помітну роль. Істотно впливає на поведінку молекул за цих умов і власний об’єм молекул. Поведінка реального газу в такому разі описується законами, що відрізняються від законів ідеального газу. Детальніше про властивості реальних газів — у § 31.

Надалі, досліджуючи властивості газу, матимемо на увазі саме ідеальний газ (навіть якщо термін «ідеальний» не вказано).

Мікроскопічні й макроскопічні параметри газу. Основним завданням вивчення властивостей газів на основі молекулярно-кінетичної теорії є встановлення кількісних зв’язків між величинами, які вимірюються експериментально (тиском, температурою тощо), і характеристиками самих молекул. Останні називають мікроскопічними параметрами. До них належать: маса молекули, її швидкість і кінетична енергія хаотичного поступального руху. Параметри газу як молекулярної системи, що складається з величезної кількості частинок, називаються макроскопічними параметрами. Це об’єм, тиск і температура.

Іншими словами, завданням молекулярно-кінетичної теорії газів є встановлення зв’язку між макроскопічними і мікроскопічними параметрами газу.

Поняття про статистичні закономірності. У практичній діяльності ми маємо справу з явищами, у яких задіяна величезна кількість частинок. Наприклад, в 1 см³ газу за нормальних умов міститься 2,7 · 10¹⁹ молекул. При цьому кожна молекула зазнає близько мільярда зіткнень за секунду, внаслідок чого постійно змінюється її швидкість і напрямок руху. Навіть якщо нам вдасться дослідити закономірності руху однієї молекули, стверджувати, що ці закономірності властиві всій сукупності молекул

не можна! Механічний рух великої сукупності молекул має якісно інші властивості порівняно з окремою молекулою.

Закони молекулярної фізики ґрунтуються на статистичних методах, які дають можливість досліджувати системи, що складаються з великої сукупності частинок. Фізичні закономірності таких систем мають ймовірнісний, або статистичний характер.

Одним із прийомів статистичного методу є обчислення середніх значень різних величин, що зазнають індивідуальних змін. Так, досліджуючи рух сукупності молекул газу, немає потреби визначати швидкість і кінетичну енергію поступального руху кожної молекули окремо, статистичний метод дає змогу обчислити середнє значення цих величин. Швидкості окремих молекул можуть бути будь-якими, проте середнє значення модуля швидкості руху молекул — усталена величина. Щоб її визначити, треба додати значення швидкості руху всіх молекул і поділити цю

суму на кількість молекул,

(середнє значення вели

чини позначають рискою над її літерним символом).

Надалі нам знадобиться середнє значення не самої швидкості, а квадрата швидкості. Від цієї величини залежить середня кінетична енергія молекул. А середня кінетична енергія молекул, як ми незабаром переконаємося, має виняткове значення в молекулярно-кінетичній теорії.

Отже, середній квадрат швидкості руху молекул дорівнює

Середня квадратична швидкість руху молекул (v) — це величина, яка визначається коренем квадратним із середнього квадрата швидкості

руху молекул:

Середня квадратична швидкість є характеристикою хаотичного невпо-рядкованого руху молекул, її ще називають тепловою.

У молекулярній фізиці також широко використовуються закони теорії ймовірності. Це звільняє від потреби знати точне значення тих чи інших фізичних величин: достатньо мати відомості про найімовірніші значення цих величин. Так, визначити, скільки молекул газу, що

містяться в посудині, мають швидкість, наприклад,

неможливо.

Ми можемо лише встановити, яка частина молекул має швидкість, що лежить, наприклад, в інтервалі

або в іншому інтервалі.

Молекулярно-кінетична теорія ідеального газу, користуючись методами статистики, дає змогу теоретично вивести газові закони, пояснити властивості газів і процесів, що відбуваються в газах.

Тиск газу в молекулярно-кінетичній теорії. Газ чинить тиск на всі тіла, з якими контактує. Цим газ принципово відрізняється від рідин і твердих тіл. З курсу фізики 7 класу ми знаємо, що тиск газу на стінки посудини (чи будь-яку іншу поверхню) зумовлений ударами об неї молекул газу. У результаті удару, наприклад, об стінку посудини кожна молекула передає їй імпульс, а отже, діє на неї з певною (дуже малою) силою. Натомість стінка діє на молекулу з такою самою силою у протилежному напрямку. Коли кількість молекул у посудині мала, ці удари відбуваються зі значними (у молекулярному масштабі) інтервалами часу і сприймаються не як безперервна дія, а як низка послідовних, дуже малих дій. Коли кількість молекул у посудині велика, що реально (крім штучно створюваних умов високого вакууму), ці удари відбуватимуться безперервно. Нескінченно малі дії окремих молекул додаються, і результуюча дія сприймається як постійно діюча сила.

Отже, згідно з молекулярно-кінетичними уявленнями, тиск газу виникає в результаті ударів молекул об стінки посудини.

Це величина, яка характеризує стан великої кількості молекул, — тобто макроскопічна величина. У випадку однієї чи кількох молекул поняття тиску взагалі втрачає сенс.

За одиницю тиску в СІ беруть такий тиск, за якого на 1 м² поверхні діє

сила в 1 Н. Цю одиницю називають паскалем:

Використовують і

позасистемні одиниці — міліметр ртутного стовпчика (1 мм рт. ст. « 133,3 Па), атмосферу (1 атм « 10⁵ Па). Вимірюють тиск газу, нижчий і вищий, ніж атмосферний, за допомогою манометрів, атмосферний — барометрами.

Нагадуємо, що тиск, p — це фізична величина, яка чисельно дорівнює силі, що діє на одиницю площі поверхні перпендикулярно цій поверхні. Оскільки величезна кількість молекул газу рухається хаотично, то в середньому кількість ударів у будь-якому напрямку однакова, а отже, тиск на всі стінки посудини має бути однаковим, на що вказує закон Паскаля.

Виведення основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу. Використовуючи модель ідеального газу, німецький фізик Рудольф Клаузіус вивів рівняння, що встановлює зв’язок між тиском ідеального газу р, масою молекули m₀, концентрацією молекул n і серед-

2

нім квадратом швидкості v .

Точне виведення рівняння молекулярно-кінетичної теорії досить складне. Доведення майже кожного твердження у фізиці, виведення будь-якого рівняння можна виконати з різним ступенем точності й переконливості: дуже спрощено, більш-менш точно й з високою точністю, доступною сучасному стану розвитку науки. Ми обмежимося дуже спрощеним, схематичним виведенням рівняння.

Нехай усередині посудини, площа стінки якої S, міститься ідеальний одноатомний газ з молекулами масою m₀ кожна. Згідно зі статистичними закономірностями, можна вважати, що всі молекули рухаються із середньою квадратичною швидкістю

Припустімо, що молекули газу рухаються від однієї стінки до іншої без взаємних зіткнень. Це спрощення внаслідок великої кількості молекул N і хаотичності їх руху не впливає на точність розрахунків. Під час зіткнень зі стінками посудини молекули ідеального газу взаємодіють з ними за законами механіки як абсолютно пружні тіла. Молекула діє на стінку силою F₁, що за третім законом Ньютона дорівнює силі F₂, з якою стінка посудини діє на молекулу і протилежна їй за напрямком.

Нехай молекула масою m₀ рухається зі швидкістю v₀ перпендикулярно до стінки посудини, площа якої S (мал. 121). Пружно вдарившись об стінку, вона передає їй імпульс:

F₁ At = m₀V - m₀V₀, де v — швидкість молекули після удару об стінку. Оскільки взаємодія пружна, модуль швидкості не змінюється, а напрямок руху змінюється на протилежний, отже V = -V₀,

то F₁ At = m₀V - (-m₀V) = 2m₀V.

Якщо швидкість руху молекули напрямлена під довільним кутом до стінки, то під час зіткнення молекули зі стінкою проекція її швидкості на вісь, перпендикулярну до поверхні стінки, змінює знак, v_x = -v, а проекції швидкостей v_y та v_z на осі, паралельні поверхні стінки, лишаються без змін. Отже, зміна проекції імпульсу молекули дорівнює: F_xAt = 2m₀v_x.

Щоб обчислити імпульс сили F, яка діє на стінку з боку всіх молекул, підрахуємо кількість зіткнень молекул зі стінкою за час At. За цей час стінки посудини досягнуть лише ті молекули, які містяться в об’ємі V = Sv_xAt. Оскільки в цьому об’ємі половина молекул рухається до стінки, а половина від неї, то кількість молекул Z, які вдаряться об стінку за час

Усі ці молекули передадуть стінці імпульс, який згідно з другим законом Ньютона дорівнює імпульсу сили

Звідки

Оскільки для великих сукупностей молекул діють закони статистики, слід брати середнє значення квадрата проекції швидкості v2 . Врахувавши, що

одержимо вираз основного рівняння

молекулярно-кінетичної теорії газів:

Отримавши основне рівняння МКТ газів, ми виконали основне завдання молекулярно-кінетичної теорії газів — встановили зв’язок між тиском (макроскопічним параметром) з такими мікроскопічними параметрами, як маса однієї молекули й середня квадратична швидкість руху молекул. Це рівняння можна подати і в іншому вигляді. Поділимо і помножимо

праву частину рівняння на 2:

отже, тиск ідеального

газу пропорційний середній кінетичній енергії хаотичного руху молекул.

Основне рівняння МКТ газів підтверджує такий факт: що більшими є маси молекул та їхні швидкості, а також кількість молекул в одиниці об’єму (концентрація), то більший тиск вони чинять на стінки посудини.

Парціальний тиск. Якщо газ є сумішшю кількох ідеальних газів, то молекули кожного типу газу чинять тиск на стінку посудини незалежно.

Парціальний тиск — це тиск, що його чинив би газ, який входить до складу суміші газів, коли б він сам за тієї самої температури займав увесь об’єм.

Згідно з принципом суперпозиції сил тиски газів, які утворюють суміш (парціальні тиски), додаються. Це твердження вперше сформулював у 1801 р. англійський фізик і хімік Джон Дальтон (1766-1844), тому його називають законом Дальтона:

Закон Дальтона строго виконується для суміші ідеальних газів; наближено застосовується для реальних газів за температур і тисків, далеких від критичних¹. Так, атмосферний тиск складається із парціальних тисків азоту, кисню та інших газів, що містяться в атмосферному повітрі.

¹ Для кожної речовини існує свій критичний стан, який визначається критичною температурою, тиском та об’ємом.

ЗНАЮ, вмію, розумію

1. Назвіть умови, за яких газ можна вважати ідеальним.

2. Які величини називають мікроскопічними та макроскопічними параметрами газу?

3. Чому в молекулярній фізиці використовують статистичні методи? У чому їх суть?

4. Який механізм виникнення тиску газу з погляду МКТ?

5. Які особливості основного рівняння ідеального газу й чому його називають основним?

6. Виведіть і поясніть фізичний зміст основного рівняння МКТ.

7. У чому полягає суть закону Дальтона?

Приклади розв'язування задач

Задача 1. Тиск розрідженого газу p = 5 · 10⁴ Па, його густина

Визначте середню квадратичну швидкість хаотичного руху молекул газу.

ВПРАВА 21

1. Який тиск газу, якщо середня квадратична швидкість руху його молекул

а його густина становить

2. Чому дорівнює середня квадратична швидкість руху молекул газу, якщо, маючи масу 6 кг він займає об’єм 5 м³ за тиску 200 кПа?

3. Визначте концентрацію молекул кисню, якщо його тиск 0,2 МПа, а середня квадратична швидкість руху молекул дорівнює

4. Визначте середню кінетичну енергію руху молекули одноатомного газу за тиску 20 кПа. Концентрація молекул цього газу за зазначеного тиску дорівнює 3 · 10²⁵ м^-3.

5. У закритій посудині міститься ідеальний газ. Як зміниться його тиск, якщо середня квадратична швидкість молекул збільшиться на 20 %?

6. На стінку площею S налітає потік молекул зі швидкістю v. Кількість молекул, що рухається в напрямку до стінки, дорівнює n₀. Маса кожної молекули — т. Визначте силу й тиск, які діють на стінку, якщо молекули рухаються перпендикулярно до стінки. Удари об стінку абсолютно пружні. Яким буде значення тиску й сили тиску у випадку, коли стінка рухається назустріч молекулам зі швидкістю и?

7. Пластинку покривають золотом у вакуумі за допомогою напилювання. Атоми золота, що падають на пластинку, мають однакову енергію 4 ■ 10^-20 Дж і створюють тиск 0,15 Па. За який час товщина покриття зростає на 8 ■ 10^-6 м?

8. Обчисліть середню кількість зіткнень за одиницю часу молекул деякого газу, якщо середня довжина вільного пробігу молекули — 5 мкм, а середня квадратична

швидкість

 

 

Це матеріал з підручника Фізика і астрономія за 10 клас Засєкіна (профільний рівень)